Mostre que a área da superfície dada por
, onde
é
u.a.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da superfície dada por
que projeta no plano
na região
Em outras palavras:
- A superfície é o gráfico da função
. - A região de projeção no plano
é o disco centrado em de raio , isto é, o conjunto .
A pergunta é: qual é a área dessa porção da superfície (unidades arbitrárias)?
Passo 2
Vou usar a fórmula padrão para a área de uma superfície que é gráfico de uma função
sobre uma região
no plano
. A fórmula é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
é o elemento de área no plano
. Explicando devagar:
-
é a taxa de variação de quando mexemos um pouquinho em mantendo fixo. -
é a taxa de variação de quando mexemos um pouquinho em mantendo fixo. - A expressão
ajusta a área da projeção para a área real do pedaço da superfície (é o fator de alongamento devido à inclinação da superfície).
Passo 3
Calcular
e
para
. Primeiro note que podemos escrever
. Aplicando a regra da cadeia:
Essas fórmulas valem para
. No nosso problema a região projetada é o disco centrado em
de raio
, que não contém a origem, então não há problema.
Passo 4
Calcular
:
Portanto o integrando fica muito simples:
Ou seja, o fator de alongamento é constante sobre toda a região
.
Passo 5
Com isso a integral da área reduz-se a multiplicar essa constante pela área da projeção
:
Agora basta achar a área de
. A região
é o disco
, ou seja, um disco de raio
. A área de um disco de raio
é
. Aqui
, logo
Passo 6
Substituindo:
Se quiser uma aproximação numérica,
u.a., mas a expressão exata é mais elegante.