Mostre que a área da superfície dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, onde (x-2)^{2}+y^{2} \leq 1 é \frac{\pi \sqrt{2}}{2} u.a.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que projeta no plano xy na região
(x-2)^{2}+y^{2}\leq 1.
Em outras palavras:
  • A superfície é o gráfico da função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região de projeção no plano xy é o disco centrado em (2,0) de raio 1, isto é, o conjunto \{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}\le 1\}.
    A pergunta é: qual é a área dessa porção da superfície (unidades arbitrárias)?

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão para a área de uma superfície que é gráfico de uma função z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy. A fórmula é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^{2}+f_y(x,y)^{2}}\,dA,Á
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente, e dA é o elemento de área no plano xy. Explicando devagar:
  • f_x(x,y) é a taxa de variação de f quando mexemos um pouquinho em x mantendo y fixo.
  • f_y(x,y) é a taxa de variação de f quando mexemos um pouquinho em y mantendo x fixo.
  • A expressão \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}} ajusta a área da projeção dA para a área real do pedaço da superfície (é o fator de alongamento devido à inclinação da superfície).

Passo 3

Calcular f_x e f_y para f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Primeiro note que podemos escrever f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. Aplicando a regra da cadeia:
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
f_y(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Essas fórmulas valem para (x,y)\neq(0,0). No nosso problema a região projetada é o disco centrado em (2,0) de raio 1, que não contém a origem, então não há problema.

Passo 4

Calcular f_x^{2}+f_y^{2}:
f_x^{2}+f_y^{2}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1.
Portanto o integrando fica muito simples:
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Ou seja, o fator de alongamento é constante sobre toda a região D.

Passo 5

Com isso a integral da área reduz-se a multiplicar essa constante pela área da projeção D:
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{2}\,dA=\sqrt{2}\iint_{D} dA=\sqrt{2}\cdot\text{Área}(D).ÁÁ
Agora basta achar a área de D. A região D é o disco (x-2)^{2}+y^{2}\le 1, ou seja, um disco de raio 1. A área de um disco de raio r é \pi r^{2}. Aqui r=1, logo
\text{Área}(D)=\pi\cdot 1^{2}=\pi.Á

Passo 6

Substituindo:
\text{Área}(S)=\sqrt{2}\cdot\pi=\pi\sqrt{2}.Á
Se quiser uma aproximação numérica, \pi\sqrt{2}\approx 4{,}44288 u.a., mas a expressão exata é mais elegante.

Resposta

\pi\sqrt{2}\\ \text{u.a.}

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