Classifique as EDPs abaixo como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas.
Passo 1
O enunciado pede: classificar a equação diferencial parcial
como elíptica, parabólica ou hiperbólica.
Informações dadas extraídas diretamente do enunciado:
Informações dadas extraídas diretamente do enunciado:
- A equação é de segunda ordem nas derivadas espaciais
e . - Não há termos mistos
nem termos de primeira ordem explícitos no enunciado. - Os coeficientes que apareceriam multiplicando
, e podem ser lidos da própria equação.
Passo 2
Vou lembrar a regra de classificação (fórmula que é padrão para equações lineares de segunda ordem).
Considere uma equação linear de segunda ordem no plano escrita na forma
Considere uma equação linear de segunda ordem no plano escrita na forma
Define-se o discriminante
A classificação é feita assim:
- Se
a equação é elíptica. - Se
a equação é parabólica. - Se
a equação é hiperbólica.
Explicação rápida do porquê dessa regra (intuição):
,
,
determinam a natureza quadrática das segundas derivadas, e
é análogo ao discriminante de uma cônica — daí a nomenclatura.
Passo 3
Identificar
,
e
na equação dada. Da equação
temos:
Calcular o discriminante:
Portanto
Passo 4
Como
, pela regra de classificação a equação é hiperbólica. Isto quer dizer, de maneira prática, que a equação se comporta como uma equação de onda unidimensional (tem características reais por onde a informação se propaga).
Passo 5
Para ver isso de forma mais didática, mostro uma transformação canônica que coloca a equação em forma canônica hiperbólica. Defina as variáveis características
Usando regra da cadeia para derivadas (tudo em notação de derivadas parciais)
Derivando novamente,
Substituindo na equação original:
Logo a equação fica na forma canônica
que é a forma típica de uma equação hiperbólica de segunda ordem. A solução geral dessa equação (rápido comentário útil para prova) é
onde
e
são funções arbitrárias de uma variável — isto mostra explicitamente a decomposição em ondas que viajam ao longo das características
constante e
constante.
Passo 6
Resumo didático e motivador: calculamos os coeficientes, avaliamos o discriminante e obtivemos
, por isso a equação é hiperbólica. Pense nela como uma equação que admite duas direções características reais e por isso admite soluções que são somas de funções de
e
. Força aí nos estudos — esse tipo de classificação é procedimento direto e cai com frequência em prova!
Resposta
hiperbólica