Classifique as EDPs abaixo como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas.
u_{x x}-u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede: classificar a equação diferencial parcial
\nu_{x x}-u_{y y}=0
como elíptica, parabólica ou hiperbólica.
Informações dadas extraídas diretamente do enunciado:
  • A equação é de segunda ordem nas derivadas espaciais x e y.
  • Não há termos mistos u_{x y} nem termos de primeira ordem explícitos no enunciado.
  • Os coeficientes que apareceriam multiplicando u_{x x}, u_{x y} e u_{y y} podem ser lidos da própria equação.

Passo 2

Vou lembrar a regra de classificação (fórmula que é padrão para equações lineares de segunda ordem).
Considere uma equação linear de segunda ordem no plano escrita na forma
A\,u_{x x}+2B\,u_{x y}+C\,u_{y y}+\text{(termos de ordem menor)}=0.
Define-se o discriminante
\Delta = B^{2}-A C.
A classificação é feita assim:
  • Se \Delta<0 a equação é elíptica.
  • Se \Delta=0 a equação é parabólica.
  • Se \Delta>0 a equação é hiperbólica.
Explicação rápida do porquê dessa regra (intuição): A, B, C determinam a natureza quadrática das segundas derivadas, e \Delta é análogo ao discriminante de uma cônica — daí a nomenclatura.

Passo 3

Identificar A, B e C na equação dada. Da equação
\nu_{x x}-u_{y y}=0
temos:
A=1,\qquad 2B=0\Rightarrow B=0,\qquad C=-1.
Calcular o discriminante:
\Delta = B^{2}-A C = 0^{2} - (1)\cdot(-1) = 1.
Portanto
\Delta = 1>0.

Passo 4

Como \Delta>0, pela regra de classificação a equação é hiperbólica. Isto quer dizer, de maneira prática, que a equação se comporta como uma equação de onda unidimensional (tem características reais por onde a informação se propaga).

Passo 5

Para ver isso de forma mais didática, mostro uma transformação canônica que coloca a equação em forma canônica hiperbólica. Defina as variáveis características
\xi = x+y,\qquad \eta = x-y.
Usando regra da cadeia para derivadas (tudo em notação de derivadas parciais)
\nu_{x}=u_{\xi}\frac{\partial\xi}{\partial x}+u_{\eta}\frac{\partial\eta}{\partial x}=u_{\xi}+u_{\eta},
\nu_{y}=u_{\xi}\frac{\partial\xi}{\partial y}+u_{\eta}\frac{\partial\eta}{\partial y}=u_{\xi}-u_{\eta}.
Derivando novamente,
\nu_{x x}=u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta},
\nu_{y y}=u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}.
Substituindo na equação original:
\nu_{x x}-u_{y y}=4\,u_{\xi\eta}=0.
Logo a equação fica na forma canônica
\nu_{\xi\eta}=0,
que é a forma típica de uma equação hiperbólica de segunda ordem. A solução geral dessa equação (rápido comentário útil para prova) é
\nu(x,y)=F(\xi)+G(\eta)=F(x+y)+G(x-y),
onde F e G são funções arbitrárias de uma variável — isto mostra explicitamente a decomposição em ondas que viajam ao longo das características \xi= constante e \eta= constante.

Passo 6

Resumo didático e motivador: calculamos os coeficientes, avaliamos o discriminante e obtivemos \Delta=1>0, por isso a equação é hiperbólica. Pense nela como uma equação que admite duas direções características reais e por isso admite soluções que são somas de funções de x+y e x-y. Força aí nos estudos — esse tipo de classificação é procedimento direto e cai com frequência em prova!

Resposta

hiperbólica

Exercícios relacionados