O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função f(t)\) definida por
\[f(t)= \begin{cases}t, & 0 \leq t<1, \\[4pt] 1, & t \geq 1.\end{cases}
Informação relevante: a função é definida por partes com mudança em t=1\].
- Resultado que precisamos devolver: uma expressão \(F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) válida para os valores de s em que a integral converge (vamos indicar isso).]
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e estratégia de solução (passo a passo).
Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
Vou calcular cada integral com calma (explicando cada passo). Depois faço uma verificação alternativa usando a função degrau (Heaviside) para consolidar a ideia.
Passo 3
Calcular a segunda integral (a mais simples): \displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Essa é uma integral exponencial impropria; para \Re(s)>0 temos convergência e
Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt usando integração por partes — explicando a técnica.
Lembrete rápido sobre integração por partes: se escolhemos u=u(t) e dv=dv(t) então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples, e dv que seja integrável facilmente.
Aqui escolhemos u=t (logo du=dt) e dv=e^{-st}dt. Então uma primitiva de dv é v=-\dfrac{1}{s}e^{-st} (porque \dfrac{d}{dt}(-\frac{1}{s}e^{-st})=e^{-st}).