Classifique as equações abaixo determinando a ordem e se são lineares ou não-lineares. Caso seja não-linear, justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede:
- determinar a ordem da equação;
- dizer se a equação é linear ou não-linear (e, se for não-linear, justificar).
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem é o maior número de derivada de
que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for (terceira derivada), a equação é de ordem .
Passo 3
Identifico as derivadas presentes na equação dada: aparecem
e
. A maior delas é
.
Logo, a ordem da equação é .
Logo, a ordem da equação é
Passo 4
O que é uma equação diferencial linear?
- Uma equação diferencial é linear em
se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
são funções só de
. Importante: “linear” significa que
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por coeficientes que dependem de
e somadas entre si — não aparecem produtos entre
(ou
) nem funções não-lineares de
(como
,
,
, etc.).
Passo 5
Comparo a equação dada com a forma linear. Escrevendo-a explicitamente:
Aqui os coeficientes são
,
,
,
e o termo independente é
. Não há nenhum termo como
,
ou produto entre derivadas. Todos os termos envolvendo
ou suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de
e somados. Portanto a equação é linear. Além disso, como
, trata-se de uma equação linear não-homogênea.
Observação útil (curiosidade prática): embora seja linear, ao tentar colocá-la na forma padrão dividindo por
aparecem pontos singulares onde
(i.e.
). Isso não altera a linearidade, apenas indica pontos onde escrever a equação na forma
pode ser problemático.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (não-homogênea)
Linearidade: linear (não-homogênea)