Classifique as equações abaixo determinando a ordem e se são lineares ou não-lineares. Caso seja não-linear, justifique sua resposta.
(\sin x) y^{\prime \prime \prime}-(\cos x) y^{\prime}=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(\sin x)\,y^{\prime\prime\prime}-(\cos x)\,y^{\prime}=2
e pede:
  • determinar a ordem da equação;
  • dizer se a equação é linear ou não-linear (e, se for não-linear, justificar).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for y^{\prime\prime\prime} (terceira derivada), a equação é de ordem 3.

Passo 3

Identifico as derivadas presentes na equação dada: aparecem y^{\prime} e y^{\prime\prime\prime}. A maior delas é y^{\prime\prime\prime}.
Logo, a ordem da equação é 3.

Passo 4

O que é uma equação diferencial linear?
  • Uma equação diferencial é linear em y se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo independente g(x) são funções só de x. Importante: “linear” significa que y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por coeficientes que dependem de x e somadas entre si — não aparecem produtos entre y (ou y^{(k)}) nem funções não-lineares de y (como y^2, \sin(y), y\,y', etc.).

Passo 5

Comparo a equação dada com a forma linear. Escrevendo-a explicitamente:
(\sin x)\,y^{(3)} + 0\cdot y^{(2)} + (-\cos x)\,y' + 0\cdot y = 2.
Aqui os coeficientes são a_3(x)=\sin x, a_2(x)=0, a_1(x)=-\cos x, a_0(x)=0 e o termo independente é g(x)=2. Não há nenhum termo como y^2, \sin(y) ou produto entre derivadas. Todos os termos envolvendo y ou suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de x e somados. Portanto a equação é linear. Além disso, como g(x)=2\neq0, trata-se de uma equação linear não-homogênea.
Observação útil (curiosidade prática): embora seja linear, ao tentar colocá-la na forma padrão dividindo por \sin x aparecem pontos singulares onde \sin x=0 (i.e. x=k\pi). Isso não altera a linearidade, apenas indica pontos onde escrever a equação na forma y^{(3)}+\cdots= pode ser problemático.

Resposta

Ordem: 3
Linearidade: linear (não-homogênea)

Exercícios relacionados