Questão 2. Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
c) (1 ponto) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n \sqrt{n}} .

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}
e pede para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}.
  • Podemos reescrever o denominador como n\sqrt{n}=n^{3/2}, portanto a_n=\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3/2}}.
  • A série começa em n=1 e vai até o infinito.

Passo 2

Ideia útil (definição): uma série \sum a_n converge absolutamente se a série das magnitudes \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge também (diz-se que convergência absoluta implica convergência). Vou tentar mostrar que a série converge absolutamente — isso é uma maneira direta e forte de concluir convergência.

Passo 3

Examine o termo absoluto:
|a_n|=\left|\frac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3/2}}\right|=\frac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}}.
Sabemos, pela propriedade da função seno, que para todo inteiro n vale
|\operatorname{sen}(n)|\le 1.
Logo, para todo n\ge1,
0\le \frac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}}\le \frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 4

Agora uso o teste da comparação (versão simples): se 0\le u_n\le v_n para todo n e \sum v_n converge, então \sum u_n converge. Aqui posso tomar u_n=\dfrac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}} e v_n=\dfrac{1}{n^{3/2}}.
Recordando o teste p-séries: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\tfrac{3}{2}, que é maior que 1. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
converge. Pelo teste da comparação, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}}
converge.

Passo 5

Como a série das magnitudes \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}} converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica que a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3/2}} converge.

Resposta

Converge absolutamente, portanto converge.

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