e pede para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral é a_n=\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n\sqrt{n}}.
Podemos reescrever o denominador como n\sqrt{n}=n^{3/2}, portanto a_n=\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3/2}}.
A série começa em n=1 e vai até o infinito.
Passo 2
Ideia útil (definição): uma série \sum a_n converge absolutamente se a série das magnitudes \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge também (diz-se que convergência absoluta implica convergência). Vou tentar mostrar que a série converge absolutamente — isso é uma maneira direta e forte de concluir convergência.
Agora uso o teste da comparação (versão simples): se 0\le u_n\le v_n para todo n e \sum v_n converge, então \sum u_n converge. Aqui posso tomar u_n=\dfrac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}} e v_n=\dfrac{1}{n^{3/2}}.
Recordando o teste p-séries: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\tfrac{3}{2}, que é maior que 1. Portanto
Como a série das magnitudes \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{|\operatorname{sen}(n)|}{n^{3/2}} converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica que a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3/2}} converge.