Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(\operatorname{sen} x) y^{\prime \prime \prime}-(\cos x) y^{\prime}=2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial
(\operatorname{sen} x)\,y^{\prime\prime\prime}-(\cos x)\,y^{\prime}=2.
As perguntas são:
  • Determinar a ordem da equação (qual a maior derivada que aparece).
  • Dizer se a equação é linear ou não-linear.
Informações dadas:
  • A equação envolve as derivadas y^{\prime} e y^{\prime\prime\prime}.
  • Os coeficientes das derivadas são funções de x: \operatorname{sen} x e -\cos x.
  • O membro à direita é a constante 2.

Passo 2

Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação.
No enunciado aparecem y^{\prime} (primeira derivada) e y^{\prime\prime\prime} (terceira derivada). A maior derivada presente é y^{\prime\prime\prime}.
Portanto, a ordem da equação é 3.

Passo 3

Definição de linearidade (explicação didática): uma equação diferencial é linear se a função incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear, isto é, sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências (como (y')^2), sem funções não-lineares de y (como \sin(y), e^{y} etc.).
A forma geral de uma equação linear de ordem n é
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y^{\prime}+a_0(x)\,y=g(x),
onde os coeficientes a_k(x) dependem no máximo de x (não dependem de y nem de suas derivadas) e g(x) é termos independentes de y.
Exemplos para fixar a ideia:
  • Linear: \sin x\,y'' + x^2 y' - 3y = \cos x. (coeficientes dependem só de x, nenhum produto ou potência de y)
  • Não linear: y'' + (y')^2 = 0 (tem (y')^2, não é linear)
  • Não linear: y'' + y\,y' = 1 (produto y\,y', não linear)

Passo 4

Aplicando a definição ao nosso caso, reescrevemos a equação tal como está:
(\operatorname{sen} x)\,y^{\prime\prime\prime} - (\cos x)\,y^{\prime} = 2.
Comparando com a forma geral, podemos identificar:
a_3(x)=\operatorname{sen} x,\qquad a_2(x)=0,\qquad a_1(x)=-\cos x,\qquad a_0(x)=0,\qquad g(x)=2.
Todos os termos que envolvem y aparecem multiplicados por funções que dependem apenas de x (sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências de y, sem \sin(y) etc.). Logo, a equação é linear.

Passo 5

Observação prática: às vezes se coloca a equação na forma padrão dividindo por \operatorname{sen} x (quando \operatorname{sen} x\neq 0):
y^{\prime\prime\prime} - (\cot x)\,y^{\prime} = \frac{2}{\operatorname{sen} x}.
Essa forma deixa explícito que os coeficientes são funções de x. O fato de \operatorname{sen} x poder ser zero em alguns pontos não altera a classificação global como linear; apenas indica que em pontos onde \operatorname{sen} x=0 a forma padrão dividida não é válida localmente (mas a equação original ainda é linear como expressão formal).

Passo 6

Resumo final do raciocínio: a presença somente de termos do tipo coeficiente(x) vezes derivadas de y, sem produtos/potências de y ou de suas derivadas, garante linearidade; e o aparecimento de y^{\prime\prime\prime} fixa a ordem como 3.

Resposta

Linear
Ordem 3

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