Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial
As perguntas são:
- Determinar a ordem da equação (qual a maior derivada que aparece).
- Dizer se a equação é linear ou não-linear.
Informações dadas:
- A equação envolve as derivadas
e . - Os coeficientes das derivadas são funções de
: e . - O membro à direita é a constante
.
Passo 2
Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação.
No enunciado aparecem (primeira derivada) e
(terceira derivada). A maior derivada presente é
.
Portanto, a ordem da equação é 3.
No enunciado aparecem
Portanto, a ordem da equação é 3.
Passo 3
Definição de linearidade (explicação didática): uma equação diferencial é linear se a função incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear, isto é, sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências (como
), sem funções não-lineares de
(como
,
etc.).
A forma geral de uma equação linear de ordem é
A forma geral de uma equação linear de ordem
onde os coeficientes
dependem no máximo de
(não dependem de
nem de suas derivadas) e
é termos independentes de
.
Exemplos para fixar a ideia:
- Linear:
. (coeficientes dependem só de , nenhum produto ou potência de ) - Não linear:
(tem , não é linear) - Não linear:
(produto , não linear)
Passo 4
Aplicando a definição ao nosso caso, reescrevemos a equação tal como está:
Comparando com a forma geral, podemos identificar:
Todos os termos que envolvem
aparecem multiplicados por funções que dependem apenas de
(sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências de
, sem
etc.). Logo, a equação é linear.
Passo 5
Observação prática: às vezes se coloca a equação na forma padrão dividindo por
(quando
):
Essa forma deixa explícito que os coeficientes são funções de
. O fato de
poder ser zero em alguns pontos não altera a classificação global como linear; apenas indica que em pontos onde
a forma padrão dividida não é válida localmente (mas a equação original ainda é linear como expressão formal).
Passo 6
Resumo final do raciocínio: a presença somente de termos do tipo coeficiente(x) vezes derivadas de
, sem produtos/potências de
ou de suas derivadas, garante linearidade; e o aparecimento de
fixa a ordem como 3.
Resposta
Linear
Ordem 3
Ordem 3