Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas coisas:
- classificar a equação como linear ou não-linear;
- indicar a ordem da equação.
Informações relevantes dadas:
- aparecem as derivadas
, e ; - os coeficientes diante das derivadas são funções de
(por ex. ); - o lado direito é
(equação homogênea).
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem é o maior número de derivação de
que aparece na equação.
Para identificar: lista-se as derivadas presentes e toma-se a maior. Na equação dada aparecem:
A maior derivada é
, portanto a ordem da equação é
.
Exemplo rápido para fixar: se uma equação contém apenas
como maior derivada, sua ordem é
. Aqui, como há
, a ordem é
.
Passo 3
O que torna uma equação diferencial linear?
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde cada
e
são funções somente da variável independente
(ou constantes).
- Em uma equação linear, as incógnitas
aparecem apenas na primeira potência (não há termos como , , , etc.) e não aparecem multiplicadas entre si. - Se
a equação é chamada homogênea.
Exemplos para contraste:
- Linear:
(linear de ordem ). - Não-linear:
(não-linear porque tem ). - Não-linear:
(não-linear porque há produto ).
Passo 4
Aplicando essa definição à equação dada: escrevemos os coeficientes identificando os termos correspondentes à forma linear:
e o termo do lado direito é
Observa-se que cada derivada
aparece apenas na primeira potência, não há produtos entre
e suas derivadas nem funções não-lineares de
. Os coeficientes são funções de
, o que faz dela uma equação linear com coeficientes dependentes de
. Como
, é também homogênea.
Passo 5
Conclusão didática final: a equação é uma equação diferencial linear (homogênea) de ordem
. Se precisar, memorize: “linear” = cada derivada aparece com coeficiente que depende só de
e sem potências ou produtos entre as derivadas; “ordem” = maior derivada presente.
Resposta
Linear (homogênea, com coeficientes dependentes de
)
Ordem:
Ordem: