Classifique as equaçóes diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
x^{3} y^{(4)}-x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x^{3}y^{(4)}-x^{2}y^{\prime\prime}+4xy^{\prime}-3y=0
e pede duas coisas:
  • classificar a equação como linear ou não-linear;
  • indicar a ordem da equação.
Informações relevantes dadas:
  • aparecem as derivadas y^{\prime}, y^{\prime\prime} e y^{(4)};
  • os coeficientes diante das derivadas são funções de x (por ex. x^{3},-x^{2},4x,-3);
  • o lado direito é 0 (equação homogênea).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem é o maior número de derivação de y que aparece na equação.
    Para identificar: lista-se as derivadas presentes e toma-se a maior. Na equação dada aparecem:
y',\qquad y^{\prime\prime},\qquad y^{(4)}.
A maior derivada é y^{(4)}, portanto a ordem da equação é 4.
Exemplo rápido para fixar: se uma equação contém apenas y'' como maior derivada, sua ordem é 2. Aqui, como há y^{(4)}, a ordem é 4.

Passo 3

O que torna uma equação diferencial linear?
  • Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_k(x) e g(x) são funções somente da variável independente x (ou constantes).
  • Em uma equação linear, as incógnitas y, y',\dots,y^{(n)} aparecem apenas na primeira potência (não há termos como y^2, \sin(y), y\,y', etc.) e não aparecem multiplicadas entre si.
  • Se g(x)=0 a equação é chamada homogênea.
Exemplos para contraste:
  • Linear: \;x^2 y''+3y'-y= \cos x\; (linear de ordem 2).
  • Não-linear: \;y''+y^2=0\; (não-linear porque tem y^2).
  • Não-linear: \;y\,y''+y'=0\; (não-linear porque há produto y\cdot y'').

Passo 4

Aplicando essa definição à equação dada: escrevemos os coeficientes identificando os termos correspondentes à forma linear:
a_4(x)=x^{3},\qquad a_3(x)=0,\qquad a_2(x)=-x^{2},\qquad a_1(x)=4x,\qquad a_0(x)=-3,
e o termo do lado direito é
g(x)=0.
Observa-se que cada derivada y^{(k)} aparece apenas na primeira potência, não há produtos entre y e suas derivadas nem funções não-lineares de y. Os coeficientes são funções de x, o que faz dela uma equação linear com coeficientes dependentes de x. Como g(x)=0, é também homogênea.

Passo 5

Conclusão didática final: a equação é uma equação diferencial linear (homogênea) de ordem 4. Se precisar, memorize: “linear” = cada derivada aparece com coeficiente que depende só de x e sem potências ou produtos entre as derivadas; “ordem” = maior derivada presente.

Resposta

Linear (homogênea, com coeficientes dependentes de x)
Ordem: 4

Exercícios relacionados