Classifique as Equações Diferenciais Parciais a seguir quanto ao tipo, à ordem, à linearidade e à homogeneidade
x^{3} u_{x y}-y^{2} u_{y}+u=x+y

Passo 1

O enunciado dá a equação em duas variáveis
x^{3}\,u_{xy}-y^{2}\,u_{y}+u = x+y
e pede que classifiquemos quanto a tipo, ordem, linearidade e homogeneidade.

Passo 2

Para achar a ordem, basta ver qual é a derivada de maior ordem que aparece. Aqui temos u_{xy}, que é uma derivada mista de segunda ordem. Logo, é uma EDP de ordem 2.

Passo 3

A equação é linear se todos os termos envolvendo u ou suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, não há produtos ou potências de u ou de suas derivadas. Como só aparecem x^{3}u_{xy}, -y^{2}u_{y} e u, cada coeficiente depende apenas de x e y. Portanto, é uma EDP linear.

Passo 4

É homogênea quando o lado direito é zero. Aqui o lado direito é x+y\neq0, então a equação é não-homogênea.

Passo 5

Para classificar o tipo de uma EDP linear de segunda ordem em duas variáveis, escrevemos na forma padrão
A\,u_{xx} + 2B\,u_{xy} + C\,u_{yy} + \text{(termos de ordem menor)} = 0.
Comparando, vemos
A = 0,\quad 2B = x^{3}\;\Longrightarrow\;B = \frac{x^{3}}{2},\quad C = 0.
O discriminante é
\Delta = B^{2} - A\,C = \Bigl(\tfrac{x^{3}}{2}\Bigr)^{2} = \frac{x^{6}}{4}.
Como \Delta>0 para x\neq0, a EDP é do tipo hiperbólico (exceto na linha x=0, onde o modelo degenera).

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear
Homogeneidade: não-homogênea
Tipo: hiperbólico (para x\neq0)

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