Classifique as Equações Diferenciais Parciais a seguir quanto ao tipo, à ordem, à linearidade e à homogeneidade
\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}=0

Passo 1

A equação dada é
\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)^{2} \;+\;\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}} \;=\;0.
Precisamos classificá-la segundo quatro critérios: tipo (elíptico, parabólico, hiperbólico etc.), ordem, linearidade e homogeneidade.

Passo 2

Para determinar a ordem de uma equação diferencial parcial, basta ver qual é a maior derivada de u que aparece. Aqui aparece \partial^{3}u/\partial x^{3}, ou seja, a ordem é três.

Passo 3

Uma equação é linear se u e suas derivadas aparecem apenas em grau 1 (sem produtos entre elas) e com coeficientes que dependem só das variáveis independentes.
• O termo \bigl(\partial u/\partial x\bigr)^{2} é claramente não linear (é quadrático em \partial u/\partial x).
• O termo de maior ordem, \partial^{3}u/\partial x^{3}, aparece com coeficiente constante e sem produtos com outras derivadas.
Logo a equação não é linear e, como o termo de maior ordem aparece linearmente, caracteriza-se como uma equação semilinear (ou, de modo mais geral, quasilinear).

Passo 4

Uma equação diferencial é dita homogênea quando todos os termos envolvem u ou suas derivadas, sem termos independentes de u. Aqui o lado direito é zero e ambos os termos contêm derivadas de u. Portanto, a equação é homogênea.

Passo 5

A classificação em elíptica, parabólica ou hiperbólica aplica-se somente a equações lineares de segunda ordem em duas variáveis. Como esta é de terceira ordem e não é linear de segunda ordem, o critério de tipo não se aplica.

Resposta

Tipo: não se aplica
Ordem: 3
Linearidade: semilinear (não linear)
Homogeneidade: homogênea

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