Classifique as Equações Diferenciais Parciais a seguir quanto ao tipo, à ordem, à linearidade e à homogeneidade
u_{x} u_{t}=\operatorname{sen}(u)

Passo 1

O enunciado dá a equação
u_x\,u_t = \sin(u)
onde u=u(x,t). Precisamos classificá-la em quatro aspectos: tipo (ordinária ou parcial; e, no caso de segunda ordem, elíptica/parabólica/hiperbólica), ordem, linearidade e homogeneidade.

Passo 2

Ordem: a ordem da EDP é o maior expoente de derivada que aparece. Aqui só aparecem \partial u/\partial x e \partial u/\partial t, ambas de primeira ordem.
Logo, a equação é de primeira ordem.

Passo 3

Tipo: como envolve derivadas parciais de u em relação a duas variáveis (x,t), trata-se de uma equação diferencial parcial.
Observação: a classificação em elíptica, parabólica ou hiperbólica aplica-se apenas a EDPs de segunda ordem, então não se aplica neste caso.

Passo 4

Linearidade: a equação é linear se puder ser escrita como combinação linear de u e de suas derivadas, sem produtos entre elas nem funções não lineares de u. Aqui há produto de derivadas \;u_x\,u_t\; e função \sin(u).
Portanto é não linear (na verdade, totalmente não linear de primeira ordem).

Passo 5

Homogeneidade: este conceito só faz sentido em EDPs lineares—uma EDP linear é homogênea se o termo independente (isto é, sem u ou derivadas) for zero. Como a equação não é linear, a classificação de homogênea/inhomogênea não se aplica.

Resposta

Tipo: EDP de primeira ordem (parcial) – não se classifica em elíptica/parabólica/hiperbólica
Ordem: 1
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não se aplica (por ser não linear)

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