Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu classifique:
- a ordem da equação;
- se é linear ou não linear;
- se for linear, classificar a homogeneidade (homogênea ou não homogênea).
Informação relevante: a equação envolve, e e aparece o termo .
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial: é o maior índice de derivada que aparece na equação. Na equação dada os derivadas presentes são
(primeira derivada) e
(segunda derivada). O maior índice é
, portanto a ordem é
. Exemplo paralelo: se a maior derivada fosse
a ordem seria
.
Passo 3
Definição prática de linearidade para uma equação diferencial: uma equação diferencial é linear se todos os termos que envolvem a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear — isto é, somados entre si e multiplicados por coeficientes que dependem no máximo da variável independente (por exemplo
) e nunca de
. Em particular, termos como
,
,
,
tornam a equação não linear.
Na equação dada o lado esquerdo é linear em
, mas o lado direito contém o termo
, que é um termo quadrático em
. Se eu reescrever tudo no mesmo lado:
Na equação dada o lado esquerdo
fica explícito o termo
, que mostra não linearidade. Portanto a equação é não linear.
Passo 4
Sobre homogeneidade: essa classificação (homogênea vs não homogênea) só é definida no sentido clássico para equações diferenciais lineares. Uma equação linear é homogênea se o termo independente (termo não envolvendo
ou suas derivadas) for zero; caso contrário é não homogênea. Como a equação dada é não linear, essa noção de homogeneidade, tal como usada para lineares, não se aplica aqui. Logo não faz sentido chamá‑la de homogênea ou não homogênea na terminologia padrão para equações lineares.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não aplicável (a classificação de homogênea/não homogênea vale apenas para equações lineares)
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não aplicável (a classificação de homogênea/não homogênea vale apenas para equações lineares)