Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
,
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade (linear ou não linear). Se for linear, também devo dizer se é homogênea ou não homogênea. A equação dada é
Passo 2
Vou identificar a ordem da equação. Ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada de
que aparece na equação. Na equação dada aparecem
(derivada de primeira ordem) e
(derivada de segunda ordem). O maior índice é
, portanto a ordem é
.
Passo 3
Agora explico o que significa ser linear. Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
dependem só da variável independente
(não de
nem de suas derivadas) e as ocorrências de
e suas derivadas aparecem apenas em potência 1 e não multiplicadas entre si. Exemplos de não linearidade seriam termos como
,
,
,
, etc.
Passo 4
Vou reescrever a equação para compará-la com a forma linear:
Aqui os coeficientes são funções de
:
,
,
, e o termo do lado direito é
. Não há produtos entre
e suas derivadas nem funções não lineares de
. Portanto a equação é linear. Como os coeficientes dependem de
(por exemplo
), é uma equação linear com coeficientes variáveis.
Passo 5
Agora sobre homogeneidade: por definição, uma equação linear é homogênea quando o termo independente
é identicamente zero. Na forma que escrevi acima temos
, logo a equação é homogênea. Em termos práticos, isso significa que a combinação linear dos termos da solução iguala zero (não há termo-forçante dependente de
no lado direito).
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de )
Homogeneidade: homogênea
Linearidade: linear (linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de
Homogeneidade: homogênea