Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
y^{\prime \prime}+x \operatorname{sen} x y^{\prime}=y,

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade (linear ou não linear). Se for linear, também devo dizer se é homogênea ou não homogênea. A equação dada é
y'' + x\operatorname{sen} x\, y' = y.

Passo 2

Vou identificar a ordem da equação. Ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Na equação dada aparecem y' (derivada de primeira ordem) e y'' (derivada de segunda ordem). O maior índice é 2, portanto a ordem é 2.

Passo 3

Agora explico o que significa ser linear. Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) e o termo independente g(x) dependem só da variável independente x (não de y nem de suas derivadas) e as ocorrências de y e suas derivadas aparecem apenas em potência 1 e não multiplicadas entre si. Exemplos de não linearidade seriam termos como y^2, \sin(y), y y', (y')^2, etc.

Passo 4

Vou reescrever a equação para compará-la com a forma linear:
y'' + x\operatorname{sen} x\, y' - y = 0.
Aqui os coeficientes são funções de x: a_2(x)=1, a_1(x)=x\operatorname{sen} x, a_0(x)=-1, e o termo do lado direito é g(x)=0. Não há produtos entre y e suas derivadas nem funções não lineares de y. Portanto a equação é linear. Como os coeficientes dependem de x (por exemplo x\operatorname{sen} x), é uma equação linear com coeficientes variáveis.

Passo 5

Agora sobre homogeneidade: por definição, uma equação linear é homogênea quando o termo independente g(x) é identicamente zero. Na forma que escrevi acima temos g(x)=0, logo a equação é homogênea. Em termos práticos, isso significa que a combinação linear dos termos da solução iguala zero (não há termo-forçante dependente de x no lado direito).

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear (linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de x)
Homogeneidade: homogênea

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