Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} t^{3}}+t \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+t^{2} y=t^{3},

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade (se é linear ou não linear). Se for linear, pedir também para classificar quanto à homogeneidade (homogênea ou não homogênea). A equação dada é
\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{d} t^{3}} + t\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + t^{2}y = t^{3}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação envolve derivadas de y em função de t.
  • Há um termo do lado direito igual a t^{3}.
  • Os coeficientes que multiplicam as derivadas e y são funções de t (por exemplo t e t^{2}).

Passo 2

Determinar a ordem da equação. Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada de y que aparece na equação. Na equação dada aparece \dfrac{\mathrm{d}^{3}y}{\mathrm{d}t^{3}}, que é a derivada de terceira ordem, e não aparecem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 3.
Exemplo rápido para fixar: \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + y = 0 tem ordem 2, porque a maior derivada é de segunda ordem.

Passo 3

Verificar se a equação é linear. Primeiro, vamos recordar a forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n:
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde a_i(t) e g(t) são funções conhecidas de t. A equação é linear se:
  • cada termo envolvendo y ou suas derivadas aparece apenas multiplicado por uma função de t (ou por uma constante), e
  • não aparecem produtos entre y e suas derivadas nem potências não-lineares de y ou de y' (por exemplo termos como y^2, yy', (y')^3 tornam a equação não linear).
Agora escrevo a equação dada na forma padrão e identifico os coeficientes:
1\cdot \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{d} t^{3}} + 0\cdot \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} + t\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + t^{2}\cdot y = t^{3}.
Assim os coeficientes são
a_3(t)=1,\qquad a_2(t)=0,\qquad a_1(t)=t,\qquad a_0(t)=t^{2},
e o termo do lado direito é g(t)=t^{3}. Não há termos do tipo y^2, y y' ou (y')^2; todas as aparições de y e de suas derivadas são multiplicadas apenas por funções de t. Portanto a equação é linear (mais precisamente: uma equação linear de coeficientes dependentes de t, ou seja, de coeficientes não-constantes).
Para fixar a diferença: a equação \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + y^2 = 0 seria não linear por causa do termo y^2.

Passo 4

Classificar quanto à homogeneidade (apenas faz sentido depois de termos afirmado que é linear). Definição: uma equação linear é homogênea se o termo do lado direito g(t) for identicamente zero; caso contrário é não homogênea. Na nossa equação temos g(t)=t^{3}, que não é a função zero (salvo em pontos isolados, mas a definição considera a função identicamente nula). Portanto a equação é
\text{não homogênea}.ãê
A equação homogênea associada (útil para métodos de solução) seria
\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{d} t^{3}} + t\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + t^{2}y = 0.

Passo 5

Resumo final do raciocínio: identifiquei a maior derivada ( \dfrac{\mathrm{d}^{3}y}{\mathrm{d}t^{3}}) para achar a ordem; reescrevi a equação na forma padrão linear para identificar os coeficientes a_i(t) e confirmei que não há termos não-lineares em y; por fim verifiquei que g(t)=t^{3}\neq 0, então a equação linear é não homogênea. Força aí — você já sabe o que olhar numa prova para classificar rápido esse tipo de exercício!

Resposta

Ordem: \,3\nLinearidade: linear (coeficientes dependem de t)\nHomogeneidade: não homogênea (termo de excitação t^{3} não nulo)

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