Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
,
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade (se é linear ou não linear). Se for linear, pedir também para classificar quanto à homogeneidade (homogênea ou não homogênea). A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação envolve derivadas de
em função de . - Há um termo do lado direito igual a
. - Os coeficientes que multiplicam as derivadas e
são funções de (por exemplo e ).
Passo 2
Determinar a ordem da equação. Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada de
que aparece na equação. Na equação dada aparece
, que é a derivada de terceira ordem, e não aparecem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
Exemplo rápido para fixar:
tem ordem
, porque a maior derivada é de segunda ordem.
Passo 3
Verificar se a equação é linear. Primeiro, vamos recordar a forma geral de uma equação diferencial linear de ordem
:
onde
e
são funções conhecidas de
. A equação é linear se:
- cada termo envolvendo
ou suas derivadas aparece apenas multiplicado por uma função de (ou por uma constante), e - não aparecem produtos entre
e suas derivadas nem potências não-lineares de ou de (por exemplo termos como , , tornam a equação não linear).
Agora escrevo a equação dada na forma padrão e identifico os coeficientes:
Assim os coeficientes são
e o termo do lado direito é
. Não há termos do tipo
,
ou
; todas as aparições de
e de suas derivadas são multiplicadas apenas por funções de
. Portanto a equação é linear (mais precisamente: uma equação linear de coeficientes dependentes de
, ou seja, de coeficientes não-constantes).
Para fixar a diferença: a equação
seria não linear por causa do termo
.
Passo 4
Classificar quanto à homogeneidade (apenas faz sentido depois de termos afirmado que é linear). Definição: uma equação linear é homogênea se o termo do lado direito
for identicamente zero; caso contrário é não homogênea. Na nossa equação temos
, que não é a função zero (salvo em pontos isolados, mas a definição considera a função identicamente nula). Portanto a equação é
A equação homogênea associada (útil para métodos de solução) seria
Passo 5
Resumo final do raciocínio: identifiquei a maior derivada (
) para achar a ordem; reescrevi a equação na forma padrão linear para identificar os coeficientes
e confirmei que não há termos não-lineares em
; por fim verifiquei que
, então a equação linear é não homogênea. Força aí — você já sabe o que olhar numa prova para classificar rápido esse tipo de exercício!
Resposta
Ordem:
\nLinearidade: linear (coeficientes dependem de
)\nHomogeneidade: não homogênea (termo de excitação
não nulo)