Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
,
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade; e, se for linear, classifique também quanto à homogeneidade. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é
e a incógnita é a função
. Não há outras informações ou condições iniciais.
Passo 2
Vou definir “ordem” para ficar claro o que devo verificar. A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparece
a equação é de ordem
. Na equação dada o termo derivado é
, que é a primeira derivada. Portanto a ordem é
.
Passo 3
Agora explico o que significa ser linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
onde
,
e
dependem somente da variável independente
(não podem depender de
nem de suas derivadas). Em linguagem simples: coeficientes só em função de
, e
e suas derivadas aparecem apenas em termos lineares (sem potências, produtos entre derivadas/variáveis, ou funções não lineares de
). Exemplo linear:
. Exemplo não linear:
(porque aparece
).
Passo 4
Aplico esse teste à equação dada. Reescrevendo:
Observe o coeficiente da derivada
: é
, que depende da incógnita
, não apenas de
. Isso viola a condição de linearidade (os coeficientes não podem depender em
). Mesmo que eu tente dividir por
(quando
) e escrever
o coeficiente de
passa a ser
, que ainda depende de
. Então a equação não é linear: há uma função não linear de
multiplicando a derivada.
Passo 5
Como a equação é não linear, a classificação quanto à homogeneidade (homogênea vs não homogênea) — que só faz sentido para equações lineares (ver se o termo independente
é zero ou não) — não se aplica aqui. Para lembrar: numa equação linear, se
dizemos que é homogênea; se
é não homogênea. No caso atual essa distinção não é relevante porque a equação já é não linear.
Resposta
Ordem
.
Não linear (classificação quanto à homogeneidade: não aplicável).
Não linear (classificação quanto à homogeneidade: não aplicável).