Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
\cos x \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+x \operatorname{sen} t=0,

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade; e, se for linear, classifique também quanto à homogeneidade. A equação dada é
\cos x\;\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x\sin t=0.
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é t e a incógnita é a função x(t). Não há outras informações ou condições iniciais.

Passo 2

Vou definir “ordem” para ficar claro o que devo verificar. A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparece \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} a equação é de ordem 2. Na equação dada o termo derivado é \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, que é a primeira derivada. Portanto a ordem é 1.

Passo 3

Agora explico o que significa ser linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
a_1(t)\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_0(t)\,x = g(t),
onde a_1(t), a_0(t) e g(t) dependem somente da variável independente t (não podem depender de x nem de suas derivadas). Em linguagem simples: coeficientes só em função de t, e x e suas derivadas aparecem apenas em termos lineares (sem potências, produtos entre derivadas/variáveis, ou funções não lineares de x). Exemplo linear: \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+p(t)x=q(t). Exemplo não linear: \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x^2=0 (porque aparece x^2).

Passo 4

Aplico esse teste à equação dada. Reescrevendo:
\cos x\;\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x\sin t=0.
Observe o coeficiente da derivada \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}: é \cos x, que depende da incógnita x, não apenas de t. Isso viola a condição de linearidade (os coeficientes não podem depender em x). Mesmo que eu tente dividir por \cos x (quando \cos x\neq0) e escrever
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x\frac{\sin t}{\cos x}=0,
o coeficiente de x passa a ser \dfrac{\sin t}{\cos x}, que ainda depende de x. Então a equação não é linear: há uma função não linear de x multiplicando a derivada.

Passo 5

Como a equação é não linear, a classificação quanto à homogeneidade (homogênea vs não homogênea) — que só faz sentido para equações lineares (ver se o termo independente g(t) é zero ou não) — não se aplica aqui. Para lembrar: numa equação linear, se g(t)=0 dizemos que é homogênea; se g(t)\neq0 é não homogênea. No caso atual essa distinção não é relevante porque a equação já é não linear.

Resposta

Ordem 1.
Não linear (classificação quanto à homogeneidade: não aplicável).

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