Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
x^2+y^210=z^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação . Nosso objetivo aqui é classificar que tipo de superfície essa equação representa e fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação:
x^2 + y^210 - z^2 = 0
Observamos que temos dois termos positivos ( e ) e um termo negativo ( ). Isso já nos dá uma pista sobre o tipo de superfície.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que quando temos dois termos quadráticos positivos e um negativo, a superfície pode ser um hiperboloide. Mas precisamos verificar qual tipo exatamente.
No caso de um hiperboloide de uma folha, a equação geral é:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
Já para um hiperboloide de duas folhas:
-x^2a^2 - y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Mas o nosso lado direito é zero, não um. Isso muda as coisas.

Passo 4

Quando a equação de uma superfície quadrática é igual a zero, em vez de um número positivo, geralmente estamos lidando com um cone. Nesse caso, a equação representa um cone de duas napas (ou cone duplo), que é como dois cones iguais apontando em direções opostas.

Resposta

A equação representa um cone de duas napas. O esboço dessa superfície seria dois cones simétricos em relação ao plano XY, abrindo-se para cima e para baixo.

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