Calcule a distância do ponto P à reta r :
P=(-2,0,1), r: X=(1,-2,0)+lambda(3,2,1)

Passo 1

O exercício pede para calcular a distância do ponto à reta definida por . Vamos trabalhar com geometria analítica, especialmente utilizando vetores. Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto na reta, o vetor diretor da reta e aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer na reta . Observando a equação paramétrica, quando , temos o ponto .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta , que é o vetor que multiplica o parâmetro . Então, o vetor diretor .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o vetor que vai do ponto AP = P - A = (-2 - 1, , 0 - (-2), , 1 - 0) = (-3, 2, 1) ao ponto . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto vetorial entre AP times v = i & j & k -3 & 2 & 1 3 & 2 & 1 = i(2 cdot 1 - 1 cdot 2) - j(-3 cdot 1 - 1 cdot 3) + k(-3 cdot 2 - 2 cdot 3) e = i(2 - 2) - j(-3 - 3) + k(-6 -6) . O produto vetorial = i(0) - j(-6) + k(-12) é dado por:
= (0, 6, -12)

Passo 6

Vamos calcular a magnitude desse produto vetorial:
|AP times v| = raiz0^2 + 6^2 + (-12)^2 = raiz0 + 36 + 144 = raiz180 = 6raiz5

Passo 7

Também precisamos da magnitude do vetor diretor |v| = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14 :

Resposta

A distância do ponto d = |AP times v||v| = 6raiz5raiz14 = 3raiz707 à reta é:

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