Classifique, justificando cuidadosamente, a posição relativa de cada par de retas abaixo:
Em cada caso, diga se as retas são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes.
\displaystyle r_{3}: 2 x+3 y-1=0 \quad \text { e } \quad s_{3}: 3 x-2 y+7=0

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede que se classifique a posição relativa entre elas (se são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes). As retas fornecidas são:
r_{3}: 2x+3y-1=0
s_{3}: 3x-2y+7=0
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes de r_{3}: a_1=2,\; b_1=3,\; c_1=-1.
  • Coeficientes de s_{3}: a_2=3,\; b_2=-2,\; c_2=7.
    O que é pedido: determinar se r_{3} e s_{3} são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes, e justificar cuidadosamente.

Passo 2

Vamos lembrar critérios claros (explicados de forma direta) para comparar duas retas escritas na forma geral \,ax+by+c=0:
  • Vetor normal: para uma reta \,ax+by+c=0 o vetor normal é (a,b). Duas retas são paralelas se e somente se seus vetores normais são proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
  • Condição prática de paralelismo: duas retas com coeficientes (a_1,b_1) e (a_2,b_2) são paralelas quando
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0.
  • Condição de coincidência: além do paralelismo dos vetores normais, as retas são coincidentes se os três coeficientes são proporcionais, isto é, se existe \lambda tal que
a_1=\lambda a_2,\quad b_1=\lambda b_2,\quad c_1=\lambda c_2.
  • Caso contrário (quando os vetores normais não são proporcionais), as retas se cruzam em um único ponto; chamamos isso de retas concorrentes (ou simplesmente concorrência).
Outra forma intuitiva: o declive (coeficiente angular) de ax+by+c=0 é -\dfrac{a}{b} (quando b\neq0). Se os declives forem diferentes, as retas se intersectam.
Vou aplicar esses testes ao par dado.

Passo 3

Calcular o determinante dos vetores normais (teste de paralelismo):
\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\[4pt] a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1.
Substituindo a_1=2,\; b_1=3,\; a_2=3,\; b_2=-2:
\Delta = 2\cdot(-2) - 3\cdot 3 = -4 - 9 = -13.
Como \Delta = -13 \neq 0, os vetores normais não são proporcionais. Portanto as retas não são paralelas; consequentemente, não podem ser coincidentes. Logo, devem ser concorrentes (interseção em um único ponto).]

Passo 4

(Mesmo que não seja estritamente necessário para a classificação, é útil e pedagógico calcular o ponto de interseção para reforçar que as retas realmente se cruzam em um único ponto.)
Resolvemos o sistema formado pelas duas equações:
\begin{cases} 2x+3y=1,\\[4pt] 3x-2y=-7. \end{cases}
Eliminação por combinação linear: multiplicar a primeira por 3\) e a segunda por \(2\) para igualar os coeficientes de \(x\): \[\begin{cases} 6x+9y=3,\\[4pt] 6x-4y=-14. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(6x+9y)-(6x-4y)=13y=3-(-14)=17,
portanto
y=\dfrac{17}{13}.
Substituindo em (2x+3y=1]:
2x+3\cdot\dfrac{17}{13}=1 \quad\Rightarrow\quad 2x=1-\dfrac{51}{13}=\dfrac{13-51}{13}=\dfrac{-38}{13},
logo
x=\dfrac{-38}{13}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{-19}{13}.
Ponto de interseção obtido:
\left(x,y\right)=\left(-\dfrac{19}{13},\,\dfrac{17}{13}\right).
Esse cálculo confirma que há exatamente um ponto em comum, reforçando que as retas são concorrentes.]

Resposta

Concorrentes

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