Classifique, justificando cuidadosamente, a posição relativa de cada par de retas abaixo:
Em cada caso, diga se as retas são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes. \displaystyle r_{3}: 2 x+3 y-1=0 \quad \text { e } \quad s_{3}: 3 x-2 y+7=0
Passo 1
O enunciado dá duas retas e pede que se classifique a posição relativa entre elas (se são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes). As retas fornecidas são:
r_{3}: 2x+3y-1=0
s_{3}: 3x-2y+7=0
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Coeficientes de r_{3}: a_1=2,\; b_1=3,\; c_1=-1.
Coeficientes de s_{3}: a_2=3,\; b_2=-2,\; c_2=7.
O que é pedido: determinar se r_{3} e s_{3} são coincidentes, paralelas distintas ou concorrentes, e justificar cuidadosamente.
Passo 2
Vamos lembrar critérios claros (explicados de forma direta) para comparar duas retas escritas na forma geral \,ax+by+c=0:
Vetor normal: para uma reta \,ax+by+c=0 o vetor normal é (a,b). Duas retas são paralelas se e somente se seus vetores normais são proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
Condição prática de paralelismo: duas retas com coeficientes (a_1,b_1) e (a_2,b_2) são paralelas quando
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0.
Condição de coincidência: além do paralelismo dos vetores normais, as retas são coincidentes se os três coeficientes são proporcionais, isto é, se existe \lambda tal que
Caso contrário (quando os vetores normais não são proporcionais), as retas se cruzam em um único ponto; chamamos isso de retas concorrentes (ou simplesmente concorrência).
Outra forma intuitiva: o declive (coeficiente angular) de ax+by+c=0 é -\dfrac{a}{b} (quando b\neq0). Se os declives forem diferentes, as retas se intersectam.
Vou aplicar esses testes ao par dado.
Passo 3
Calcular o determinante dos vetores normais (teste de paralelismo):
Como \Delta = -13 \neq 0, os vetores normais não são proporcionais. Portanto as retas não são paralelas; consequentemente, não podem ser coincidentes. Logo, devem ser concorrentes (interseção em um único ponto).]
Passo 4
(Mesmo que não seja estritamente necessário para a classificação, é útil e pedagógico calcular o ponto de interseção para reforçar que as retas realmente se cruzam em um único ponto.)
Resolvemos o sistema formado pelas duas equações:
Eliminação por combinação linear: multiplicar a primeira por 3\) e a segunda por \(2\) para igualar os coeficientes de \(x\):
\[\begin{cases} 6x+9y=3,\\[4pt] 6x-4y=-14. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(6x+9y)-(6x-4y)=13y=3-(-14)=17,
portanto
y=\dfrac{17}{13}.
Substituindo em (2x+3y=1]: 2x+3\cdot\dfrac{17}{13}=1 \quad\Rightarrow\quad 2x=1-\dfrac{51}{13}=\dfrac{13-51}{13}=\dfrac{-38}{13},
logo x=\dfrac{-38}{13}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{-19}{13}.
Ponto de interseção obtido: \left(x,y\right)=\left(-\dfrac{19}{13},\,\dfrac{17}{13}\right).
Esse cálculo confirma que há exatamente um ponto em comum, reforçando que as retas são concorrentes.]