Classifique os pontos críticos de
f(x, y)=x^4+y^4-2 x^2-2 y^2

Passo 1

Opa, vamos lá! O enunciado pede pra classificar os pontos críticos de
f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2
Isso é cálculo de funções de duas variáveis: a gente vai usar derivadas parciais pra achar onde o gradiente some (pontos críticos) e depois montar a matriz Hessiana pra aplicar o teste da segunda derivada e dizer se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

A primeira coisa é achar as derivadas parciais:
fx=partial fpartial x=4x^3-4x=4x(x^2-1), fy=partial fpartial y=4y^3-4y=4y(y^2-1)
Pontos críticos são soluções de
fx=0, fy=0
Então
4x(x^2-1)=0;Longrightarrow;x=0 ou x^2=1;(x=pm1),
e de forma análoga y=0 ou y=pm1. Assim os pontos críticos são todas as combinações de xin0,pm1 e yin0,pm1, total de 9 pontos:
(0,0),;(pm1,0),;(0,pm1),;(pm1,pm1)

Passo 3

Agora vem a parte do teste da segunda derivada. A gente monta a matriz Hessiana:
H(x,y)= fxx & fxy [6pt] fxy & fyy ,
onde
fxx=partialpartial x(4x^3-4x)=12x^2-4, fyy=12y^2-4, fxy=0
O teste diz que, no ponto crítico:
  • Se D=fxxfyy-fxy^2>0 e fxx>0, é mínimo local.
  • Se D>0 e fxx<0, é máximo local.
  • Se D<0, é ponto de sela.]

Passo 4

Agora a gente avalia tudo em cada ponto:
  1. Em (0,0):
fxx=-4,;fyy=-4 ;Longrightarrow; D=(-4)(-4)-0=16>0 ;e; fxx<0 ;Longrightarrow; máximo local á
  1. Em (pm1,pm1):
fxx=12cdot1-4=8,;fyy=8 ;Longrightarrow; D=8cdot8=64>0 ;e; fxx>0 ;Longrightarrow; mínimos locais í
  1. Em (pm1,0) ou (0,pm1):
    um dos termos é 8 e o outro é -4, então
D=8cdot(-4)=-32<0 ;Longrightarrow; pontos de sela

Resposta

  • Máximo local: (0,0).
  • Mínimos locais: (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1).
  • Pontos de sela: (1,0), (-1,0), (0,1) e (0,-1).

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