Classifique os pontos críticos de
Passo 1
Opa, vamos lá! O enunciado pede pra classificar os pontos críticos de
Isso é cálculo de funções de duas variáveis: a gente vai usar derivadas parciais pra achar onde o gradiente some (pontos críticos) e depois montar a matriz Hessiana pra aplicar o teste da segunda derivada e dizer se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
A primeira coisa é achar as derivadas parciais:
Pontos críticos são soluções de
Então
e de forma análoga
ou
. Assim os pontos críticos são todas as combinações de
e
, total de 9 pontos:
Passo 3
Agora vem a parte do teste da segunda derivada. A gente monta a matriz Hessiana:
onde
O teste diz que, no ponto crítico:
- Se
e , é mínimo local. - Se
e , é máximo local. - Se
, é ponto de sela.]
Passo 4
Agora a gente avalia tudo em cada ponto:
- Em
:
- Em
:
- Em
ou :
um dos termos ée o outro é , então
Resposta
- Máximo local:
. - Mínimos locais:
, , e . - Pontos de sela:
, , e .