Seja F(x, y)=y^3+x y+y^3-3. Mostre que existe uma função y=f(x) definida uuma vizinhauça de x=1 tal que f(1)=1 e calcule f^prime(1).

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem
F(x,y);=;y^3 ;+; x,y ;+; y^3 ;-;3
ou seja, F(x,y)=2y^3+xy-3, e quer mostrar que existe uma função y=f(x) perto de x=1 com f(1)=1 e ainda calcular f'(1).
Matéria envolvida: Teorema da Função Implícita.
O que vamos precisar:
  1. Verificar que F(1,1)=0.
  2. Calcular as derivadas parciais partial F/partial x e partial F/partial y.
  3. Conferir que partial F/partial y(1,1)neq0 para usar o teorema.
  4. Usar a fórmula da derivada implícita
f'(x) ;=; -Fx(x,f(x))Fy(x,f(x))

Passo 2

Verificando a condição de existência:
F(1,1)=2cdot1^3 + 1cdot1 -3 = 2 + 1 -3 = 0
Então (1,1) de fato satisfaz F(x,y)=0.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Fx(x,y) ;=;partialpartial x(2y^3+xy-3)=y, Fy(x,y)=partialpartial y(2y^3+xy-3)=6y^2+x
Em (1,1) temos
Fx(1,1)=1, Fy(1,1)=6cdot1^2+1=7neq0
Teorema da Função Implícita (versão básica):
Se F(a,b)=0 e Fy(a,b)neq0, então existe y=f(x) perto de x=a com f(a)=b e
f'(x)=-Fx(x,f(x))Fy(x,f(x))

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada implícita em x=1:
f'(1) =-Fx(1,1)Fy(1,1) =-17

Resposta

f'(1) = -17

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