Classifique os pontos indicados como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares para as seguintes equações diferenciais:
(x-2)^{2} y^{\prime \prime}+\frac{1}{x-2} y^{\prime}+\sin (x) y=0, em x=2
Justifique em cada caso com base na definição de ponto ordinário e dos tipos de singularidade.

Passo 1

O enunciado dá a equação
(x-2)^{2}y''+\frac{1}{x-2}y'+\sin(x)\,y=0
e pede a classificação do ponto x=2 como ponto ordinário, singular regular ou singular irregular.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente do termo de maior ordem: a_2(x)=(x-2)^2.
  • Coeficiente do termo intermediário: a_1(x)=\dfrac{1}{x-2}.
  • Coeficiente do termo de ordem zero: a_0(x)=\sin(x).
  • O ponto a ser classificado é x_0=2.
    O objetivo é decidir entre: ponto ordinário, singular regular (regular singular) ou singular irregular, e justificar com base nas definições.

Passo 2

Definições (explicadas de forma direta e prática):
  • Para uma equação linear de segunda ordem \;a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0\;, um ponto x_0 é ponto ordinário se a_2(x_0)\neq 0. Intuição: o coeficiente da maior derivada não se anula, então a equação pode ser escrita em forma padrão com coeficientes analíticos em x_0.
  • Se a_2(x_0)=0, então x_0 é um ponto singular. Para distinguir singular regular de irregular, divide-se a equação por a_2(x) (quando possível) e define-se p(x)=\frac{a_1(x)}{a_2(x)},\qquad q(x)=\frac{a_0(x)}{a_2(x)}.O ponto x_0 é um singular regular se (x-x_0)\,p(x) e (x-x_0)^2\,q(x) são analíticos (i.e. têm expansão em série de potências convergente) em x_0. Caso contrário, o ponto é singular irregular.
  • Explicação do que significa "analítico em x_0" de modo prático: a função não deve ter pólos em x_0; pode ter uma singularidade removível (quando o limite existe e define um valor finito), mas não deve divergir.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão (dividindo por a_2(x)=(x-2)^2) para identificar p(x) e q(x). Como a_2(x) aparece explicitamente, fazemos:
p(x)=\frac{a_1(x)}{a_2(x)}=\frac{\dfrac{1}{x-2}}{(x-2)^2}=\frac{1}{(x-2)^3},
q(x)=\frac{a_0(x)}{a_2(x)}=\frac{\sin(x)}{(x-2)^2}.
Observação imediata: a_2(2)=(2-2)^2=0. Portanto x=2 é um ponto singular (não é ponto ordinário). Vamos examinar se é regular ou irregular.

Passo 4

Teste para singular regular: calcular (x-2)p(x) e (x-2)^2 q(x) e ver se são analíticos em x=2.
Calculemos:
(x-2)p(x)=(x-2)\cdot\frac{1}{(x-2)^3}=\frac{1}{(x-2)^2}.
(x-2)^2 q(x)=(x-2)^2\cdot\frac{\sin(x)}{(x-2)^2}=\sin(x).

Passo 5

Análise das duas quantidades:
  • (x-2)^2 q(x)=\sin(x) é uma função inteira (analítica) em torno de x=2 — ela tem expansão em série de potências centrada em x=2 (por exemplo \sin(x)=\sin(2)+\cos(2)(x-2)+\cdots). Logo essa condição está satisfeita.
  • (x-2)p(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2} diverge quando x\to2; é um pólo de ordem 2 em x=2. Não é analítica em x=2 (nem singularidade removível). Portanto a condição necessária para singular regular falha.

Passo 6

Conclusão lógica: como a_2(2)=0 o ponto não é ordinário; como (x-2)p(x) não é analítico em x=2 (tem pólo), o ponto não é singular regular. Pelo critério definido, resta que x=2 é um ponto singular irregular.

Resposta

Ponto singular irregular.

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