Classifique os pontos indicados como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares para as seguintes equações diferenciais:
, em
Justifique em cada caso com base na definição de ponto ordinário e dos tipos de singularidade.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a classificação do ponto
como ponto ordinário, singular regular ou singular irregular.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficiente do termo de maior ordem:
. - Coeficiente do termo intermediário:
. - Coeficiente do termo de ordem zero:
. - O ponto a ser classificado é
.
O objetivo é decidir entre: ponto ordinário, singular regular (regular singular) ou singular irregular, e justificar com base nas definições.
Passo 2
Definições (explicadas de forma direta e prática):
- Para uma equação linear de segunda ordem
, um ponto é ponto ordinário se . Intuição: o coeficiente da maior derivada não se anula, então a equação pode ser escrita em forma padrão com coeficientes analíticos em . - Se
, então é um ponto singular. Para distinguir singular regular de irregular, divide-se a equação por (quando possível) e define-se O ponto é um singular regular se e são analíticos (i.e. têm expansão em série de potências convergente) em . Caso contrário, o ponto é singular irregular. - Explicação do que significa "analítico em
" de modo prático: a função não deve ter pólos em ; pode ter uma singularidade removível (quando o limite existe e define um valor finito), mas não deve divergir.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão (dividindo por
) para identificar
e
. Como
aparece explicitamente, fazemos:
Observação imediata:
. Portanto
é um ponto singular (não é ponto ordinário). Vamos examinar se é regular ou irregular.
Passo 4
Teste para singular regular: calcular
e
e ver se são analíticos em
.
Calculemos:
Passo 5
Análise das duas quantidades:
-
é uma função inteira (analítica) em torno de — ela tem expansão em série de potências centrada em (por exemplo ). Logo essa condição está satisfeita. -
diverge quando ; é um pólo de ordem em . Não é analítica em (nem singularidade removível). Portanto a condição necessária para singular regular falha.
Passo 6
Conclusão lógica: como
o ponto não é ordinário; como
não é analítico em
(tem pólo), o ponto não é singular regular. Pelo critério definido, resta que
é um ponto singular irregular.
Resposta
Ponto singular irregular.