Use o método de Frobenius para encontrar a forma da solução geral em torno de x=0 das seguintes equações, determinando o polinômio indicial e a fórmula de recorrência: x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0
Discuta a existência de uma segunda solução independente e a possível ocorrência de logaritmos.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+x y'-y=0
e pede, em torno de x=0, usando o método de Frobenius:
determinar o polinômio indicial;
obter a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius;
escrever a forma da solução geral (ou as soluções independentes possíveis);
discutir existência de uma segunda solução independente e se aparecem logaritmos.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Ponto singular considerado: x=0 (é um ponto singular regular para esta equação).
A equação é de segunda ordem linear homogênea com coeficientes que permitem tentar a série de Frobenius em torno de x=0.
Passo 2
Ideia do método de Frobenius (explicação didática, passo a passo):
Procuramos uma solução da forma de série com uma potência inicial possivelmente fracionária ou inteira:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r},
onde r é um número desconhecido (o expoente inicial) e a_0\neq0.
Interpretando: r controla a menor potência de x presente na série; se r for negativo podemos ter um termo singular como x^{-1}. A presença de a_0\neq0 assegura que a série realmente começa na potência x^{r}.
O método: substitui-se y,y',y'' na equação, soma-se as séries e impõe-se que o coeficiente de cada potência x^{n+r} seja zero. O termo com menor potência dá o polinômio indicial, que determina r. Depois obtemos recursão para os a_n.
Passo 3
Calcular y' e y'' a partir da ansatz de Frobenius:
Substituir na equação x^{2}y''+x y'-y=0 e simplificar (mostrar passo a passo):
Multiplicando y'' por x^2 e y' por x, obtemos todas as somas com a mesma potência x^{n+r}:
Polinômio indicial (o termo de menor potência, correspondente a n=0):
Tomando n=0 no fator que multiplica a_0 obtemos o polinômio indicial
(r)^2-1=0.
Logo o polinômio indicial é \;r^2-1\; e as raízes são
r_1=1,\qquad r_2=-1.
Passo 6
Fórmula de recorrência geral (consequência da soma de séries):
Para todo n\ge0 devemos ter
a_n\big[(n+r)^2-1\big]=0.
Esta é a relação de recorrência (aqui muito simples): para cada índice n o produto acima deve ser zero. Em termos práticos, para um dado r cada a_n deve ser zero salvo se (n+r)^2-1=0, caso em que a_n fica livre.
Vou explicar o significado: normalmente a recorrência dá a_n em função de termos anteriores; aqui, curiosamente, a recorrência não envolve índices diferentes, ela simplesmente força muitos coeficientes a zero, deixando livres apenas aqueles n que satisfazem (n+r)^2=1.
Passo 7
Solução associada a r_1=1 (aplicar a recorrência):
Colocando r=1 na relação, temos
a_n\big[(n+1)^2-1\big]=a_n[n(n+2)]=0.
Para n=0 este fator é zero automaticamente (é o caso do polinômio indicial). Para n\ge1 temos n(n+2)\neq0, então a_n=0 para todo n\ge1. Assim apenas a_0 é livre e não nulo, e a série reduz-se a um único termo:
y(x)=a_0 x^{1}.
Ou seja temos a solução elementar x (constante multiplicativa a_0).
Passo 8
Solução associada a r_2=-1:
Colocando r=-1 na relação, obtemos
a_n\big[(n-1)^2-1\big]=a_n[n(n-2)]=0.
Novamente n=0 corresponde ao indicial; para n=1 temos 1\cdot(-1)\neq0 então a_1=0. Para n=2 temos 2\cdot0=0 então a_2 fica livre (pode ser arbitrário). Para n\ge3 temos n(n-2)\neq0 então a_n=0 para n\ge3. Portanto os únicos coeficientes possivelmente não nulos são a_0 e a_2. A série reduz-se aos dois termos correspondentes:
y(x)=a_0 x^{-1}+a_2 x^{1}.
Note que o termo a_2 x^{1} é proporcional à solução x já obtida para r=1. Assim, a nova peça essencialmente traz o termo x^{-1} (quando escolhemos a_2=0 e a_0\neq0).
Passo 9
Independência linear das soluções e discussão sobre logaritmos:
Das construções acima obtemos duas soluções elementares:
y_1(x)=x (vinda de r=1),
y_2(x)=x^{-1} (vinda de r=-1 tomando a_0\neq0 e a_2=0).
Verificação rápida da independência linear pelo Wronskiano:
que é diferente de zero para x\neq0. Portanto y_1 e y_2 são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0.
Sobre logaritmos: regra geral do método de Frobenius diz que, se as raízes do polinômio indicial diferem por um número inteiro, pode acontecer que a segunda solução associada à raiz menor contenha termos em \ln x. Porém isso só ocorre quando a recorrência impede a construção de uma segunda série livre (ou quando aparece um termo de “resonância”). No nosso caso a recorrência permitiu construir explicitamente uma solução independente simples x^{-1} (ou seja, não houve obstrução que forçasse um termo com \ln x). Assim NÃO aparecem logaritmos aqui: as duas soluções independentes são monômios puros x e x^{-1}.
Passo 10
Resumo (didático e encorajador):
O procedimento de Frobenius levou a um polinômio indicial simples com raízes 1 e -1.
A relação de recorrência é muito direta: a_n\big[(n+r)^2-1\big]=0.
As soluções encontradas são monômios simples, não séries infinitas complicadas, portanto não há necessidade de logaritmos nesta situação.
Fica a dica: quando a recorrência se separa em fatores que se anulam apenas em índices isolados, frequentemente obtêm-se polinômios ou monômios como soluções; quando a recorrência liga muitos a_n em cadeia, aparecem séries completas e, às vezes, logs se houver ressonância.
Resposta
Polinômio indicial: r^{2}-1.\n
Relação de recorrência: a_{n}\big[(n+r)^{2}-1\big]=0 para n\ge0.\n
Soluções independentes em torno de x=0: y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x^{-1}.\n
Discussão sobre logaritmos: não aparecem logaritmos; as duas soluções independentes são monômios puros.