Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(h) u_n = n!/3^n

Passo 1

Vamos analisar a sequência para identificar se ela é crescente, decrescente ou não apresenta monotonicidade. Para isso, vamos precisar entender de sequências numéricas e o conceito de monotonicidade, que nos ajuda a determinar se os termos estão sempre aumentando ou diminuindo conforme o índice cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser monotônica:
  • Crescente: Cada termo é maior que o anterior.
  • Decrescente: Cada termo é menor que o anterior.
  • Não monotônica: A sequência não segue um padrão consistente de aumento ou diminuição.

Passo 3

Para verificar a monotonicidade da sequência , vamos comparar o termo geral com o próximo termo, ou seja, comparar com . Se para todo , a sequência é crescente. Se para todo , é decrescente.

Passo 4

Calculamos a razão entre e :
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Agora, analisamos o valor de :
  • Se , então .
  • Se , então .
Resolvendo :
E :

Passo 6

Interpretando os resultados:
  • Para (ou seja, ), , então .
  • Para , , então .

Resposta

A sequência é decrescente para e crescente para todo . Portanto, ela não é estritamente monotônica, pois muda seu comportamento em .

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