Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(h)
(h)
Passo 1
Vamos analisar a sequência
para identificar se ela é crescente, decrescente ou não apresenta monotonicidade. Para isso, vamos precisar entender de sequências numéricas e o conceito de monotonicidade, que nos ajuda a determinar se os termos estão sempre aumentando ou diminuindo conforme o índice
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser monotônica:
- Crescente: Cada termo é maior que o anterior.
- Decrescente: Cada termo é menor que o anterior.
- Não monotônica: A sequência não segue um padrão consistente de aumento ou diminuição.
Passo 3
Para verificar a monotonicidade da sequência
, vamos comparar o termo geral com o próximo termo, ou seja, comparar
com
. Se
para todo
, a sequência é crescente. Se
para todo
, é decrescente.
Passo 4
Calculamos a razão entre
e
:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Agora, analisamos o valor de
:
- Se
, então . - Se
, então .
Resolvendo
:
E
:
Passo 6
Interpretando os resultados:
- Para
(ou seja, ), , então . - Para
, , então .
Resposta
A sequência
é decrescente para
e crescente para todo
. Portanto, ela não é estritamente monotônica, pois muda seu comportamento em
.