Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de análise de séries, principalmente sobre convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente vai considerar a série sem os sinais alternados, ou seja, , que simplifica para .
Passo 3
Agora, vamos ver se essa nova série com termos positivos converge. Sabemos que os fatoriais, como , crescem muito rápido conforme aumenta. Isso faz com que os termos fiquem bem pequenos rapidamente. De fato, séries com fatoriais no denominador convergem, porque a taxa de crescimento do fatorial supera qualquer crescimento das somas.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente, independente dos sinais alternados.