Classifique como racionais ou irracionais os seguintes números:
0,2222 ldots

Passo 1

O enunciado nos dá o número decimal 0,2222ldots (com infinitas repetições do algarismo 2) e pede para classificá-lo como racional ou irracional. Vamos usar a definição de número racional e a propriedade de que decimais periódicos são racionais.

Passo 2

Por definição, um número é racional se pode ser expresso como fração tfracpq, com p,qinZ e qneq0. Todo decimal periódico (isto é, cujos dígitos se repetem infinitamente) corresponde a um número racional, pois essa repetição permite escrever o número na forma de uma fração exata.

Passo 3

Para encontrar a fração que representa 0,2222ldots, seja
x = 0,2222ldots
Multiplicando ambos os lados por 10, temos
10x = 2,2222ldots
Subtraindo x de 10x, elimina-se a parte periódica:
10x - x = 2,2222ldots - 0,2222ldots Longrightarrow 9x = 2 Longrightarrow x = 29
Logo,
0,2222ldots = 29

Resposta

0,2222ldots é um número racional, pois pode ser escrito como tfrac29.

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