Questão 8

35 estudantes estrangeiros vieram ao
Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São
Paulo e 11, Salvador. Desses
estudantes, 5 visitaram Manaus e
Salvador, desses 5, 3 visitaram
também São Paulo. O número de
estudantes que visitaram Manaus ou
São Paulo foi:
lllll a) 29 & b) 24 & c) 11 & d) 8 & e) 5

Passo 1

O enunciado diz que um total de 35 estudantes visitou pelo menos uma das três cidades: Manaus, São Paulo e Salvador. Temos:
  • lvert Mrvert=16 (Manaus)
  • lvert Srvert=16 (São Paulo)
  • lvert Vrvert=11 (Salvador)
  • lvert Mcap Vrvert=5, dos quais lvert Mcap Scap Vrvert=3.
    Queremos calcular lvert Mcup Srvert, o número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo.

Passo 2

Para achar lvert Mcup Srvert usamos a fórmula
lvert Mcup Srvert=lvert Mrvert+lvert Srvert-lvert Mcap Srvert
Precisamos, portanto, determinar lvert Mcap Srvert.

Passo 3

Denotemos por x o número de estudantes que visitaram exatamente Manaus e São Paulo (mas não Salvador). Então
lvert Mcap Srvert = x + lvert Mcap Scap Vrvert = x + 3
Além disso, não há indicação de outros visitantes de São Paulo e Salvador além daqueles que também foram a Manaus, logo podemos tomar
lvert Scap Vrvert = 3

Passo 4

Aplicamos a inclusão-exclusão para as três cidades, lembrando que todos os 35 estudantes visitaram pelo menos uma delas:
35 &= lvert Mcup Scup Vrvert &= lvert Mrvert+lvert Srvert+lvert Vrvert -l(lvert Mcap Srvert + lvert Mcap Vrvert + lvert Scap Vrvertr) + lvert Mcap Scap Vrvert
Substituindo os valores:
35 = 16 + 16 + 11 -l((x+3) + 5 + 3r) + 3

Passo 5

Simplificando a equação:
35 = 43 - (x + 11) + 3 = 43 - x - 11 + 3 = 35 - x
Logo 35 = 35 - x, daqui segue x=0. Portanto
lvert Mcap Srvert = x+3 = 3

Passo 6

Finalmente,
lvert Mcup Srvert = lvert Mrvert+lvert Srvert-lvert Mcap Srvert = 16 + 16 - 3 = 29

Resposta

29

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