Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
x^{\prime \prime}+t x^{2}=t

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • A equação dada é x^{\prime\prime}+t x^{2}=t.
  • O pedido: classificar esta equação como EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (equação diferencial parcial).
  • Informações explícitas fornecidas:
    • Aparece x^{\prime\prime} (duas primas sobre x).
    • Aparece a variável t como termo independente.
    • Não há símbolos de derivadas parciais (como \partial) nem indicação de dependência de x de mais de uma variável independente.

Passo 2

O que é uma EDO (explicação didática):
  • Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinárias de uma função em relação a uma única variável independente.
  • Notação típica: primas (por exemplo x', x'') ou derivada total \dfrac{d x}{d t}, \dfrac{d^2 x}{d t^2}.
  • Exemplo simples de EDO de primeira ordem: \dfrac{d y}{d t}=3y. Aqui há só uma variável independente ( t) e derivada ordinária.

Passo 3

O que é uma EDP (explicação didática):
  • Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais de uma função que depende de duas ou mais variáveis independentes.
  • Notação típica: \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, etc.
  • Exemplo de EDP: \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} (equação do calor), porque u depende de x e t e aparecem derivadas parciais.

Passo 4

Aplicando as definições à equação dada:
  • A presença de x^{\prime\prime} tipicamente significa a derivada ordinária segunda de x em relação a uma única variável independente. Em notação explícita isto é \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.
  • Não há nenhum símbolo de derivada parcial \partial nem indicação de que x dependa de mais de uma variável independente.
  • Portanto estamos diante de uma equação que envolve derivadas ordinárias em relação a uma única variável t.

Passo 5

Conclusões extras (úteis para a prova — não pula etapas):
  • Classificação principal: é uma EDO.
  • Ordem: segunda ordem (pois aparece \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}).
  • Linearidade: é não linear porque o termo x^{2} torna a equação não linear (definição: linearidade em x exige que apareçam apenas combinações lineares de x e suas derivadas).
  • Autonomia: é não-autônoma porque a variável independente t aparece explicitamente (autônoma seria quando t não aparece).
  • Homogeneidade: é não homogênea (ou inhomogênea) porque o termo do lado direito é t\neq0; uma equação homogênea teria RHS igual a 0.
Dica rápida de prova: ao ver primas ( '\')) ou \(\dfrac{d}{dt} use “EDO”; ao ver \partial ou funções de várias variáveis use “EDP”.)

Resposta

EDO

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