Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
y^{\prime \prime}+3 y+5 x=0

Passo 1

O enunciado pede que se classifique a equação dada como EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (equação diferencial parcial). A equação fornecida é
y'' + 3y + 5x = 0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A incógnita aparece escrita como y.
  • Há derivada indicada por apóstrofos: y''.
  • Aparece a variável x explicitamente no termo 5x.
  • Não foi dada nenhuma outra variável independente além de x.

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significa EDO e EDP (explicação didática e simples).
  • Uma equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) quando a função incógnita depende de uma única variável independente e aparecem derivadas ordinárias dessa função em relação a essa única variável. A notação típica usa apóstrofos y', y'' ou derivadas em relação a uma única variável, por exemplo \dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d^2y}{dx^2}.
  • Uma equação é uma equação diferencial parcial (EDP) quando a função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes e aparecem derivadas parciais, indicadas por \partial (por exemplo \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \dfrac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial t}). Em EDPs a notação envolve \partial ou subíndices que representam derivadas parciais em relação a variáveis diferentes.

Passo 3

Identificar a variável independente e o tipo de derivada na equação dada.
  • A equação usa a notação y'', que significa a segunda derivada ordinária de y em relação a uma única variável (aqui x). Em notação alternativa isso seria \dfrac{d^2y}{dx^2}.
  • Não aparecem símbolos de derivada parcial \partial nem há indicação de que y dependa de outra variável além de x.
  • Portanto a função incógnita y é função de uma única variável independente x e as derivadas são ordinárias.

Passo 4

Concluir se é EDO ou EDP com justificativa direta e simples.
  • Pelo fato de haver apenas uma variável independente ( x) e derivadas ordinárias ( y''), esta equação é uma equação diferencial ordinária (EDO).
  • Se tivesse derivadas parciais ou dependência de mais de uma variável independente, seria EDP — mas não é o caso aqui.

Passo 5

Classificação adicional útil (ordem, linearidade e homogeneidade) — explico porque isso é prático para a prova.
  • Ordem: a ordem da equação é a ordem da maior derivada presente. Aqui a maior derivada é y'', de segunda ordem, então é uma EDO de ordem 2.
  • Linearidade: a equação é linear em y e suas derivadas porque aparece y e y'' apenas multiplicados por constantes e não há termos como y^2, \sin(y) ou produtos entre y e y'. Assim, é linear.
  • Homogeneidade: uma EDO linear é homogênea quando todos os termos dependentes de y e suas derivadas somam zero sem termos independentes da função; aqui há o termo 5x que depende só de x, portanto a equação é linear não homogênea (às vezes chamada inhomogênea).

Resposta

EDO (equação diferencial ordinária) de segunda ordem, linear não homogênea.

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