Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
Passo 1
O enunciado pede que se classifique a equação dada como EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (equação diferencial parcial). A equação fornecida é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A incógnita aparece escrita como
. - Há derivada indicada por apóstrofos:
. - Aparece a variável
explicitamente no termo . - Não foi dada nenhuma outra variável independente além de
.
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que significa EDO e EDP (explicação didática e simples).
- Uma equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) quando a função incógnita depende de uma única variável independente e aparecem derivadas ordinárias dessa função em relação a essa única variável. A notação típica usa apóstrofos
, ou derivadas em relação a uma única variável, por exemplo , . - Uma equação é uma equação diferencial parcial (EDP) quando a função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes e aparecem derivadas parciais, indicadas por
(por exemplo , , ). Em EDPs a notação envolve ou subíndices que representam derivadas parciais em relação a variáveis diferentes.
Passo 3
Identificar a variável independente e o tipo de derivada na equação dada.
- A equação usa a notação
, que significa a segunda derivada ordinária de em relação a uma única variável (aqui ). Em notação alternativa isso seria . - Não aparecem símbolos de derivada parcial
nem há indicação de que dependa de outra variável além de . - Portanto a função incógnita
é função de uma única variável independente e as derivadas são ordinárias.
Passo 4
Concluir se é EDO ou EDP com justificativa direta e simples.
- Pelo fato de haver apenas uma variável independente (
) e derivadas ordinárias ( ), esta equação é uma equação diferencial ordinária (EDO). - Se tivesse derivadas parciais ou dependência de mais de uma variável independente, seria EDP — mas não é o caso aqui.
Passo 5
Classificação adicional útil (ordem, linearidade e homogeneidade) — explico porque isso é prático para a prova.
- Ordem: a ordem da equação é a ordem da maior derivada presente. Aqui a maior derivada é
, de segunda ordem, então é uma EDO de ordem . - Linearidade: a equação é linear em
e suas derivadas porque aparece e apenas multiplicados por constantes e não há termos como , ou produtos entre e . Assim, é linear. - Homogeneidade: uma EDO linear é homogênea quando todos os termos dependentes de
e suas derivadas somam zero sem termos independentes da função; aqui há o termo que depende só de , portanto a equação é linear não homogênea (às vezes chamada inhomogênea).
Resposta
EDO (equação diferencial ordinária) de segunda ordem, linear não homogênea.