Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\,dx
como convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o tratamento de integrais impróprias com limite de integração indo a -\infty; vamos usar a definição de limite para verificar se o valor existe.

Passo 2

Expressamos a integral como limite de uma integral com limite inferior finito. Definimos
I = \int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\,dx.

Passo 3

Calculamos uma primitiva de \sin(2x). Usando substituição ou tabela,
\int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x) + C.

Passo 4

Avaliamo-la entre x=a e x=\tfrac{\pi}{2}:
\int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr]_{x=a}^{x=\frac{\pi}{2}} = -\tfrac{1}{2}\cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) +\tfrac{1}{2}\cos(2a).
Como \cos(\pi)=-1, isso fica
-\tfrac{1}{2}(-1)+\tfrac{1}{2}\cos(2a) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cos(2a).

Passo 5

Agora tomamos o limite a\to -\infty:
I = \lim_{a\to -\infty} \Bigl(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cos(2a)\Bigr).
Porém \cos(2a) oscila entre -1 e 1 à medida que a\to -\infty, logo esse limite não existe. Assim, a integral não converge.

Resposta

A integral é divergente.

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