Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a integral imprópria
como convergente ou divergente. Vamos usar os conceitos de simetria de função e análise de comportamento em
e em possíveis pontos problemáticos (aqui
, mas não há singularidade real).
Passo 2
Observamos que
(é função ímpar) e
é função par. Portanto o integrando
é ímpar, isto é,
. Em integrais simétricas de uma função ímpar sobre
o valor exato é zero, desde que a integral impropria em cada parte convirja.
Passo 3
Analisamos a convergência no infinito. Para
grande temos
, então
e
é convergente. Logo a integral converge em ambos os limites
e
.
Passo 4
Em
a função é contínua (não há divisão por zero nem descontinuidade em
). Portanto não há problema de convergência local em torno de zero.
Passo 5
Somando as análises: a integral imprópria converge em cada uma das partes
e
e, por simetria de função ímpar, o valor total é zero.
Resposta
A integral é convergente (na verdade absolutamente convergente) e seu valor é