Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx
como convergente ou divergente. Vamos usar os conceitos de simetria de função e análise de comportamento em x\to\pm\infty e em possíveis pontos problemáticos (aqui x=0, mas não há singularidade real).

Passo 2

Observamos que \arctan(-x)=-\arctan x (é função ímpar) e x^{2}+1 é função par. Portanto o integrando
f(x)=\frac{\arctan x}{x^{2}+1}
é ímpar, isto é, f(-x)=-f(x). Em integrais simétricas de uma função ímpar sobre (-\infty,\infty) o valor exato é zero, desde que a integral impropria em cada parte convirja.

Passo 3

Analisamos a convergência no infinito. Para \lvert x\rvert grande temos \arctan x\to\pm\tfrac{\pi}{2}, então
\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\sim \frac{\pm\tfrac{\pi}{2}}{x^{2}}
e \displaystyle\int^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} é convergente. Logo a integral converge em ambos os limites +\infty e -\infty.

Passo 4

Em x=0 a função é contínua (não há divisão por zero nem descontinuidade em \arctan x). Portanto não há problema de convergência local em torno de zero.

Passo 5

Somando as análises: a integral imprópria converge em cada uma das partes (-\infty,0] e [0,+\infty) e, por simetria de função ímpar, o valor total é zero.

Resposta

A integral é convergente (na verdade absolutamente convergente) e seu valor é
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx = 0.

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