Classifique as sentenças como verdadeiras ou falsas e corrija as falsas.
\left(4 a^{2}+7 b\right)\left(4 a^{2}-7 b\right)=16 a^{2}-49 b

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique como verdadeira ou falsa a sentença e, se for falsa, corrija-a. A sentença dada é:
(4 a^{2}+7 b)(4 a^{2}-7 b)=16 a^{2}-49 b.
Informações fornecidas: a expressão algébrica acima (não há valores numéricos para a ou b, é uma identidade algébrica a ser verificada).

Passo 2

Vou lembrar uma identidade algébrica básica que nos ajuda direto aqui: a identidade do produto da soma e da diferença (diferença de quadrados). Para quaisquer expressões x e y vale:
(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.
Explicando por que isso vale: multiplicando (fazendo FOIL),
(x+y)(x-y)=x\cdot x + x\cdot(-y) + y\cdot x + y\cdot(-y)=x^{2}-xy+xy-y^{2}=x^{2}-y^{2}.
Os termos -xy e +xy se cancelam, sobrando x^{2}-y^{2}.

Passo 3

Aplicando a identidade, primeiro identifico x e y na expressão dada. Aqui podemos tomar:
x = 4 a^{2},\qquad y = 7 b.

Passo 4

Agora calculo x^{2} e y^{2}. Uso as regras de potência: (uv)^{2}=u^{2}v^{2} e (a^{m})^{n}=a^{mn}.
Para x^{2}:
x^{2}=(4 a^{2})^{2}=4^{2}\,(a^{2})^{2}=16\,a^{4}.
Detalhando: (a^{2})^{2}=a^{2\cdot 2}=a^{4}.
Para y^{2}:
y^{2}=(7 b)^{2}=7^{2}\,b^{2}=49\,b^{2}.

Passo 5

Substituo x^{2} e y^{2} na identidade (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}:
(4 a^{2}+7 b)(4 a^{2}-7 b)=16 a^{4}-49 b^{2}.

Passo 6

Verificação por expansão (FOIL) para ficar totalmente claro:
  • Primeiro: (4 a^{2})\cdot(4 a^{2})=16 a^{4}.
  • Exterior: (4 a^{2})\cdot(-7 b)=-28 a^{2}b.
  • Interior: (7 b)\cdot(4 a^{2})=+28 a^{2}b.
  • Último: (7 b)\cdot(-7 b)=-49 b^{2}.
    Somando: 16 a^{4} -28 a^{2}b +28 a^{2}b -49 b^{2}=16 a^{4}-49 b^{2} (os termos com a^{2}b se cancelam). Confere com o resultado do passo anterior.

Passo 7

Comparando com o que o enunciado afirmou, observe que o enunciado tinha 16 a^{2}-49 b. Esse resultado está errado porque perdeu expoentes importantes: o correto tem a^{4} e b^{2}. Logo a sentença é falsa e a correção é a que encontramos.

Resposta

Falsa. (4 a^{2}+7 b)(4 a^{2}-7 b)=16 a^{4}-49 b^{2}

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