Classifique as séries abaixo como telescópica
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ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar a série dada como telescópica ou geométrica e, em seguida, calcular a soma quando ela converge. A série fornecida é
Informações relevantes que temos: para cada
o termo geral é
Não há outras hipóteses no enunciado; a missão é decidir o tipo da série e calcular a soma.
Passo 2
Vamos procurar uma simplificação algébrica do termo
. Use a identidade de conjugados para radicais: para qualquer
,
Dessa identidade segue imediatamente que
Essa igualdade é a chave — ela transforma a expressão com soma de radicais em uma diferença de radicais, o que costuma produzir cancelamentos.
Passo 3
Substituímos a expressão obtida no termo
:
Agora distribuímos e simplificamos cada parcela:
Portanto
Passo 4
A forma encontrada para
é uma diferença de termos consecutivos, ou seja, a série é telescópica. Vou explicar o que isso significa e como calcular a soma:
Somando os primeiros
termos (soma parcial
),
Escrevendo os termos para ver o cancelamento:
Quase todos os termos internos se cancelam (cada
aparece com sinal
e em seguida com sinal
), ficando apenas
Para obter a soma da série, tomamos o limite quando
:
Aqui usei que
, o que é direto porque o denominador cresce sem limite.
Passo 5
Resumo e interpretação: encontramos que o termo geral é a diferença
, o que caracteriza a série como telescópica (não é uma série geométrica). O cancelamento telescópico permite calcular exatamente a soma infinita, que é
.
Resposta
A série é telescópica (não geométrica).
A soma é .
A soma é