Classifique as séries abaixo como telescópica
1
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{n} \cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar a série dada como telescópica ou geométrica e, em seguida, calcular a soma quando ela converge. A série fornecida é
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}\cdot\sqrt{n}\cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}.
Informações relevantes que temos: para cada n\ge 1 o termo geral é
a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}\,\sqrt{n}\,(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}.
Não há outras hipóteses no enunciado; a missão é decidir o tipo da série e calcular a soma.

Passo 2

Vamos procurar uma simplificação algébrica do termo a_n. Use a identidade de conjugados para radicais: para qualquer n,
(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=(n+1)-n=1.
Dessa identidade segue imediatamente que
\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.
Essa igualdade é a chave — ela transforma a expressão com soma de radicais em uma diferença de radicais, o que costuma produzir cancelamentos.

Passo 3

Substituímos a expressão obtida no termo a_n:
a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}\,\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n+1}\,\sqrt{n}}\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big).
Agora distribuímos e simplificamos cada parcela:
\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\,\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}},\qquad \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}\,\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
Portanto
a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}.

Passo 4

A forma encontrada para a_n é uma diferença de termos consecutivos, ou seja, a série é telescópica. Vou explicar o que isso significa e como calcular a soma:
Somando os primeiros N termos (soma parcial S_N),
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).
Escrevendo os termos para ver o cancelamento:
S_N=\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right).
Quase todos os termos internos se cancelam (cada \frac{1}{\sqrt{k}} aparece com sinal + e em seguida com sinal -), ficando apenas
S_N=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}.
Para obter a soma da série, tomamos o limite quando N\to+\infty:
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right)=1-0=1.
Aqui usei que \displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{N+1}}=0, o que é direto porque o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Resumo e interpretação: encontramos que o termo geral é a diferença \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}, o que caracteriza a série como telescópica (não é uma série geométrica). O cancelamento telescópico permite calcular exatamente a soma infinita, que é \,1.

Resposta

A série é telescópica (não geométrica).
A soma é \,1.

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