2.5 pontos Determine os valores de
para os quais a série
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
para os quais a série
é convergente.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
é o termo geral da série e precisamos achar todos os
tais que
converge.
Passo 2
Ideia que vamos usar (sem calcular ainda): para séries com termos racionais em
é comum comparar o termo com uma potência simples de
. Observação assintótica: para
grande, o numerador
comporta-se como
e o denominador
comporta-se como
. Logo espera-se que, para
grande,
Então a comparação natural é com a sequência
. Antes de aplicar a comparação, vou lembrar a regra clássica que usaremos.
Passo 3
Lembrete didático (Teste da série p): a série
converge se, e somente se,
. Exemplo:
dá a série harmônica que diverge;
converge. Aqui trabalharemos com potências de
desse tipo.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação limite (limit comparison test) entre
e
. Calculo o limite
Fatorando potências de
no denominador:
Substituindo na expressão de
obtém-se
Agora tome o limite quando
:
Como
é finito e estritamente positivo, pelo teste da comparação limite as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 5
Então basta analisar a série
. Reescrevendo como série p:
Pela regra do Passo 3,
converge se, e somente se,
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto
(e, por comparação limite,
) converge exatamente quando
. Para
temos
e a série diverge (é proporcional à harmônica). Para
a série também diverge, pois corresponde a um expoente não suficiente (ou mesmo termos que não tendem a zero, se
de forma que o termo não seja o bastante decrescente).
Passo 6
Resumo final e incentivo: a análise assintótica + teste da comparação limite resolveu a questão de forma limpa — olhar para o comportamento para
grande e comparar com uma potência de
é um truque poderoso. Força aí nos estudos, já está na reta final!