2.5 pontos Determine os valores de p para os quais a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+3}{\left(n^{2}+3 n+5\right)^{p}} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de p para os quais a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+3}{\left(n^{2}+3 n+5\right)^{p}}
é convergente.
Informações dadas e objetivo claro:
a_n=\frac{2 n+3}{\left(n^{2}+3 n+5\right)^{p}}
é o termo geral da série e precisamos achar todos os p\in\mathbb{R} tais que \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge.

Passo 2

Ideia que vamos usar (sem calcular ainda): para séries com termos racionais em n é comum comparar o termo com uma potência simples de n. Observação assintótica: para n grande, o numerador (2n+3) comporta-se como 2n e o denominador (n^2+3n+5)^p comporta-se como (n^2)^p=n^{2p}. Logo espera-se que, para n grande,
a_n\sim 2\,n^{1-2p}.
Então a comparação natural é com a sequência b_n=n^{1-2p}. Antes de aplicar a comparação, vou lembrar a regra clássica que usaremos.

Passo 3

Lembrete didático (Teste da série p): a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{q}}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-q}
converge se, e somente se, q>1. Exemplo: q=1 dá a série harmônica que diverge; q=2 converge. Aqui trabalharemos com potências de n desse tipo.

Passo 4

Aplicando o teste da comparação limite (limit comparison test) entre a_n e b_n=n^{1-2p}. Calculo o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n^{1-2p}\,(n^{2}+3n+5)^{p}}.
Fatorando potências de n no denominador:
(n^{2}+3n+5)^{p}=n^{2p}\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^{2}}\right)^{p}.
Substituindo na expressão de L obtém-se
\frac{a_n}{b_n} =\frac{2n+3}{n^{1-2p}\cdot n^{2p}\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^{2}}\right)^{p}} =\frac{2n+3}{n\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^{2}}\right)^{p}}.
Agora tome o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^{2}}\right)^{p}} =\frac{2}{1^{p}}=2.
Como L=2 é finito e estritamente positivo, pelo teste da comparação limite as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 5

Então basta analisar a série \sum b_n=\sum n^{1-2p}. Reescrevendo como série p:
n^{1-2p}=n^{-(2p-1)}.
Pela regra do Passo 3, \sum n^{-(2p-1)} converge se, e somente se,
2p-1>1.
Resolvendo essa desigualdade:
2p-1>1 \implies 2p>2 \implies p>1.
Portanto \sum b_n (e, por comparação limite, \sum a_n) converge exatamente quando p>1. Para p=1 temos a_n\sim 2/n e a série diverge (é proporcional à harmônica). Para p<1 a série também diverge, pois corresponde a um expoente não suficiente (ou mesmo termos que não tendem a zero, se 1-2p\le 0 de forma que o termo não seja o bastante decrescente).

Passo 6

Resumo final e incentivo: a análise assintótica + teste da comparação limite resolveu a questão de forma limpa — olhar para o comportamento para n grande e comparar com uma potência de n é um truque poderoso. Força aí nos estudos, já está na reta final!

Resposta

\,p>1\,

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