Classifique os sistemas abaixo em possível determinado, possível indeterminado e impossível.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=1 \\\\ -2 x+y+z=0 \\\\ 6 x-3 y-3 z=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
\begin{cases} x + 2y + 3z = 1,\\\\ -2x + y + z = 0,\\\\ 6x - 3y - 3z = -1 \end{cases}
em possível determinado, possível indeterminado ou impossível. Vamos usar álgebra linear: cálculo de determinante para ver se há solução única e, se o determinante for zero, análise de consistência por eliminação.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ -2 & 1 & 1\\\\ 6 & -3 & -3 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -3&-3\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-2&1\\\ 6&-3\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}-2&1\\\ 6&-3\end{pmatrix}.
Como
\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -3&-3\end{pmatrix}=(-3)-(-3)=0, \quad \det\begin{pmatrix}-2&1\\\ 6&-3\end{pmatrix}=( -2)(-3)-1\cdot6=6-6=0,
segue que \det(A)=1\cdot0-2\cdot0+3\cdot0=0.
Determinante zero indica que não há solução única; pode ser impossível ou infinitas soluções.

Passo 3

Para decidir, eliminamos x. Da primeira equação isolamos
x = 1 - 2y - 3z.
Substituindo na segunda:
-2(1-2y-3z)+y+z=0 \;\Longrightarrow\; 5y+7z=2 \tag{I}
e na terceira:
6(1-2y-3z)-3y-3z=-1 \;\Longrightarrow\; -15y-21z=-7 \tag{II}
Mas note que (I)\times(-3) -15y-21z=-6, enquanto (II) exige -15y-21z=-7. Isso é contraditório (pois -6\neq -7), logo o sistema é inconsistente.

Passo 4

Como o determinante é zero e o sistema é inconsistente, não há nenhuma solução.

Resposta

O sistema é impossível.

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