Determine quais das matrizes abaixo são inversíveis. Em caso afirmativo, determine a inversa.
\left[\begin{array}{cc}-4 & 16 \\\\ 3 & -9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} -4 & 16\\\\ 3 & -9 \end{pmatrix}
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}. Vamos usar o critério de invertibilidade para matrizes 2\times2, que diz que A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0, e então aplicar a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix}
para
A = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = (-4)\cdot(-9) \;-\; 16\cdot3 = 36 - 48 = -12.
Como \det(A) = -12 \neq 0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Aplicando a fórmula da inversa, com a=-4, b=16, c=3, d=-9, temos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -9 & -16\\\\ -3 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Basta simplificar cada entrada:
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-9}{-12} & \frac{-16}{-12}\\[6pt] \frac{-3}{-12} & \frac{-4}{-12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{4}{3}\\[6pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{4}{3}\\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.

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