Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(a) W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in \mathbf{M}(2,2) \right\rvert\, a, b, c\right. e d \in \mathbb{R} com \left.b=c+1\right\} é um subespaço vetorial do espaço \mathbf{M}(2,2) das matrizes reais dois por dois.
(b) \mathbb{R}^{2}=[(1,1),(1,-1),(0,1)].
(c) (1,0,0) \in[(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)].
(d) O conjunto \{(1,-1,2),(-1,1,1),(0,0,1)\} forma uma base para \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação em verdadeiro (V) ou falso (F) e justificar usando os critérios de subespaço vetorial, de رتspan e de base em espaços vetoriais de dimensão finita. Vamos aplicar:
– Para (a) o teste de subespaço (conter o vetor zero e fechamentos sob soma e multiplicação escalar).
– Para (b) e (c) verificar se o conjunto gera todo o espaço (span).
– Para (d) testar independência linear (por exemplo, pelo determinante) e dimensão.

Passo 2

(a) Seja
W = \Bigl\{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M(2,2)\mid b=c+1\Bigr\}.
O vetor zero em M(2,2) é \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, que exigiria 0 = 0 + 1, o que não vale. Como 0\notin W, W não é subespaço.
Logo, (a) é FALSO.

Passo 3

(b) O conjunto \{(1,1),(1,-1),(0,1)\} em \mathbb{R}^2 gera \mathbb{R}^2 porque já dois vetores independentes, por exemplo (1,1) e (1,-1), formam base de \mathbb{R}^2. O terceiro é combinação dos primeiros. Logo
\mathbb{R}^2 = \mathrm{span}\{(1,1),(1,-1),(0,1)\}.
Portanto, (b) é VERDADEIRO.

Passo 4

(c) Queremos (1,0,0)=\alpha(1,1,1)+\beta(-1,1,0)+\gamma(1,0,-1)\). O sistema é \[\begin{cases} \alpha-\beta+\gamma = 1,\\\ \alpha+\beta=0,\\\ \alpha-\gamma=0. \end{cases}
Da terceira equação \alpha=\gamma\]; da segunda \(\beta=-\alpha; substituindo na primeira \alpha-(-\alpha)+\alpha=3\alpha=1\implies\alpha=\tfrac13. Então \beta=-\tfrac13, \gamma=\tfrac13. Há solução, logo (1,0,0) está no span.
Portanto, (c) é VERDADEIRO.

Passo 5

(d) Os vetores \,(1,-1,2),\,(-1,1,1),\,(0,0,1)\ em \mathbb{R}^3 são base só se forem independentes. Formando a matriz cujas colunas são esses vetores, o determinante é
\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot1-0\cdot1)-(-1)\cdot(-1\cdot1-0\cdot2) =1-1=0.
Determinante zero implica dependência linear, então não formam base.
Logo, (d) é FALSO.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) F

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