Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(a) W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in \mathbf{M}(2,2) \right\rvert\, a, b, c\right. e d \in \mathbb{R} com \left.b=c+1\right\} é um subespaço vetorial do espaço \mathbf{M}(2,2) das matrizes reais dois por dois.
(b) \mathbb{R}^{2}=[(1,1),(1,-1),(0,1)].
(c) (1,0,0) \in[(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)].
(d) O conjunto \{(1,-1,2),(-1,1,1),(0,0,1)\} forma uma base para \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação em verdadeiro (V) ou falso (F) e justificar usando os critérios de subespaço vetorial, de رتspan e de base em espaços vetoriais de dimensão finita. Vamos aplicar:
– Para (a) o teste de subespaço (conter o vetor zero e fechamentos sob soma e multiplicação escalar).
– Para (b) e (c) verificar se o conjunto gera todo o espaço (span).
– Para (d) testar independência linear (por exemplo, pelo determinante) e dimensão.
Passo 2
(a) Seja
W = \Bigl\{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M(2,2)\mid b=c+1\Bigr\}.
O vetor zero em M(2,2) é \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, que exigiria 0 = 0 + 1, o que não vale. Como 0\notin W, W não é subespaço.
Logo, (a) é FALSO.
Passo 3
(b) O conjunto \{(1,1),(1,-1),(0,1)\} em \mathbb{R}^2 gera \mathbb{R}^2 porque já dois vetores independentes, por exemplo (1,1) e (1,-1), formam base de \mathbb{R}^2. O terceiro é combinação dos primeiros. Logo
(c) Queremos (1,0,0)=\alpha(1,1,1)+\beta(-1,1,0)+\gamma(1,0,-1)\). O sistema é
\[\begin{cases} \alpha-\beta+\gamma = 1,\\\ \alpha+\beta=0,\\\ \alpha-\gamma=0. \end{cases}
Da terceira equação \alpha=\gamma\]; da segunda \(\beta=-\alpha; substituindo na primeira \alpha-(-\alpha)+\alpha=3\alpha=1\implies\alpha=\tfrac13. Então \beta=-\tfrac13, \gamma=\tfrac13. Há solução, logo (1,0,0) está no span.
Portanto, (c) é VERDADEIRO.
Passo 5
(d) Os vetores \,(1,-1,2),\,(-1,1,1),\,(0,0,1)\ em \mathbb{R}^3 são base só se forem independentes. Formando a matriz cujas colunas são esses vetores, o determinante é