Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
em
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
onde
Queremos ver se isso é uma base de
. Como
, basta checar se são linearmente independentes.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear nula:
Igualando as entradas obtém-se o sistema
Passo 3
Da quarta equação vem
. Somando a segunda e a terceira equações:
e então
. Substituindo tudo na primeira equação dá
, que é sempre verdadeira.
Passo 4
O sistema tem solução não trivial, por exemplo
,
,
,
. De fato
Logo os quatro são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto não é base de
, pois falha a independência linear.