Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\} em \mathbf{M}(2,2).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\{A_1,A_2,A_3,A_4\}\subset \mathbf{M}(2,2),
onde
A_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix},\; A_4=\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Queremos ver se isso é uma base de \mathbf{M}(2,2). Como \dim\mathbf{M}(2,2)=4, basta checar se são linearmente independentes.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula:
c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3+c_4A_4=0.
Igualando as entradas obtém-se o sistema
\begin{cases} c_1 + c_3 + 2c_4 = 0,\\\\ -c_2 + c_3 + c_4 = 0,\\\ c_2 + c_3 + c_4 = 0,\\\ c_1 - c_3 = 0. \end{cases}

Passo 3

Da quarta equação vem c_1=c_3. Somando a segunda e a terceira equações:
(-c_2+c_3+c_4)+(c_2+c_3+c_4)=2c_3+2c_4=0\;\Longrightarrow\;c_4=-c_3,
e então c_2=c_3+c_4=0. Substituindo tudo na primeira equação dá c_3+c_3+2(-c_3)=0, que é sempre verdadeira.

Passo 4

O sistema tem solução não trivial, por exemplo c_3=1, c_1=1, c_2=0, c_4=-1. De fato
A_1 + A_3 - A_4 =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =0.
Logo os quatro são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto não é base de \mathbf{M}(2,2), pois falha a independência linear.

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