Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Homogênea.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas: classificar a EDO, verificar (que a solução encontrada realmente satisfaz a EDO) e encontrar a solução geral aplicando o método de Equação Homogênea. Informação importante dada no enunciado: há um denominador
, portanto devemos ter
no domínio onde a equação está escrita.
Passo 2
Vamos entender claramente o que a equação nos dá (sem resolver ainda). Reescrevo o lado direito para ver a forma:
Isso mostra que a razão entre as derivadas depende apenas da combinação
. Uma equação da forma
é chamada de equação homogênea de primeira ordem (no sentido clássico para EDOs de primeira ordem). Portanto temos todos os dados para identificar a técnica a aplicar: substituição
(onde
é função de
) costuma transformar o problema numa equação separável.
Passo 3
Aplico a substituição típica para equações homogêneas:
Explico por que essa substituição é útil: como o lado direito depende de
, definindo
fazemos com que a RHS fique em termos de
apenas. Agora preciso da derivada
. Usando a regra do produto:
Aqui
é função de
, então usamos produto: derivada de
vezes
mais
vezes derivada de
.
Passo 4
Substituo
e
na equação original:
Simplifico essa relação:
Essa nova equação é uma equação separável entre
e
.
Passo 5
Separe variáveis e integre. Escrevo:
Agora integro ambos os lados. À esquerda faço a integral direta (posso usar substituição
,
, ou reconhecer forma padrão):
Cálculo a integral esquerda com a substituição
:
então
. A integral direita é
. Igualando (absorvendo constantes num único
):
Passo 6
Manipulo a expressão para isolar
. Multiplico por
:
onde
é outra constante arbitrária. Exponencio:
Chamo
(constante arbitrária real, inclusive podendo ser zero) e escrevo sem o valor absoluto, sabendo que o sinal fica incorporado em
:
Agora substituo
:
Multiplico por
para facilitar:
Resolvo para
:
Como
é constante arbitrária real, posso renomear
por uma nova constante arbitrária
. Assim a forma mais simples da solução geral é
onde
e lembrando sempre que
.
Passo 7
Verificação direta (mostrando que a solução realmente satisfaz a EDO). Considere a solução geral encontrada
Calculo
por derivação termo a termo:
Agora calculo o lado direito da EDO com esta
:
Os dois lados coincidem, logo a solução está verificada. Observação: o caso
dá a solução particular
, que também satisfaz a EDO (é o caso
constante na etapa anterior).
Passo 8
Resumo de condições de existência: durante o método apareceu
no denominador, então o desenvolvimento é válido para
. A constante
engloba os sinais e o valor zero; a solução geral apresentada cobre todas as soluções (incluindo a solução linear
quando
) no domínio
.
Resposta
Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, homogênea (o lado direito depende de
); válido para
.
Verificação: substituindo obtém-se
e
, logo confere.
Solução geral: , com
e
.
Verificação: substituindo
Solução geral: