Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Homogênea.
\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x}
e pede três coisas: classificar a EDO, verificar (que a solução encontrada realmente satisfaz a EDO) e encontrar a solução geral aplicando o método de Equação Homogênea. Informação importante dada no enunciado: há um denominador x, portanto devemos ter x\neq0 no domínio onde a equação está escrita.

Passo 2

Vamos entender claramente o que a equação nos dá (sem resolver ainda). Reescrevo o lado direito para ver a forma:
\frac{x-y}{x}=1-\frac{y}{x}.
Isso mostra que a razão entre as derivadas depende apenas da combinação \dfrac{y}{x}. Uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=F\!\left(\dfrac{y}{x}\right) é chamada de equação homogênea de primeira ordem (no sentido clássico para EDOs de primeira ordem). Portanto temos todos os dados para identificar a técnica a aplicar: substituição y=vx (onde v é função de x) costuma transformar o problema numa equação separável.

Passo 3

Aplico a substituição típica para equações homogêneas:
y=v(x)\,x.
Explico por que essa substituição é útil: como o lado direito depende de \dfrac{y}{x}, definindo v=\dfrac{y}{x} fazemos com que a RHS fique em termos de v apenas. Agora preciso da derivada dy/dx. Usando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\big(vx\big)=v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui v é função de x, então usamos produto: derivada de v vezes x mais v vezes derivada de x.

Passo 4

Substituo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} na equação original:
v + x\frac{dv}{dx}=1-\frac{y}{x}=1-v.
Simplifico essa relação:
v + x\frac{dv}{dx}=1-v \quad\Rightarrow\quad x\frac{dv}{dx}=1-2v.
Essa nova equação é uma equação separável entre v e x.

Passo 5

Separe variáveis e integre. Escrevo:
\frac{dv}{1-2v}=\frac{dx}{x}.
Agora integro ambos os lados. À esquerda faço a integral direta (posso usar substituição u=1-2v, du=-2\,dv, ou reconhecer forma padrão):
\int\frac{dv}{1-2v}=\int\frac{dx}{x}.
Cálculo a integral esquerda com a substituição u=1-2v: du=-2\,dv então \int\frac{dv}{1-2v}=-\tfrac{1}{2}\ln|1-2v| + C. A integral direita é \ln|x| + C. Igualando (absorvendo constantes num único C):
-\tfrac{1}{2}\ln|1-2v|=\ln|x|+C.

Passo 6

Manipulo a expressão para isolar v. Multiplico por -2:
\ln|1-2v|=-2\ln|x|+C_1,
onde C_1 é outra constante arbitrária. Exponencio:
|1-2v|=e^{C_1}\,|x|^{-2}.
Chamo C= \pm e^{C_1} (constante arbitrária real, inclusive podendo ser zero) e escrevo sem o valor absoluto, sabendo que o sinal fica incorporado em C:
1-2v = C x^{-2}.
Agora substituo v=\dfrac{y}{x}:
1-2\frac{y}{x}=C x^{-2}.
Multiplico por x^2 para facilitar:
x^2-2xy = C.
Resolvo para y:
2xy = x^2 - C \quad\Rightarrow\quad y=\frac{x}{2}-\frac{C}{2x}.
Como C é constante arbitrária real, posso renomear -\tfrac{C}{2} por uma nova constante arbitrária K. Assim a forma mais simples da solução geral é
y=\frac{x}{2}+\frac{K}{x},
onde K\in\mathbb{R} e lembrando sempre que x\neq0.

Passo 7

Verificação direta (mostrando que a solução realmente satisfaz a EDO). Considere a solução geral encontrada
y=\frac{x}{2}+\frac{K}{x}.
Calculo \dfrac{dy}{dx} por derivação termo a termo:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}-\frac{K}{x^2}.
Agora calculo o lado direito da EDO com esta y:
\frac{x-y}{x}=\frac{x-\left(\frac{x}{2}+\frac{K}{x}\right)}{x} =\frac{\frac{x}{2}-\frac{K}{x}}{x} =\frac{1}{2}-\frac{K}{x^2}.
Os dois lados coincidem, logo a solução está verificada. Observação: o caso K=0 dá a solução particular y=\dfrac{x}{2}, que também satisfaz a EDO (é o caso v=\tfrac12 constante na etapa anterior).

Passo 8

Resumo de condições de existência: durante o método apareceu x no denominador, então o desenvolvimento é válido para x\neq0. A constante K engloba os sinais e o valor zero; a solução geral apresentada cobre todas as soluções (incluindo a solução linear y=\tfrac{x}{2} quando K=0) no domínio x\neq0.

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, homogênea (o lado direito depende de \dfrac{y}{x}); válido para x\neq0.
Verificação: substituindo y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{K}{x} obtém-se \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{K}{x^2} e \dfrac{x-y}{x}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{K}{x^2}, logo confere.
Solução geral: \displaystyle y=\frac{x}{2}+\frac{K}{x}, com K\in\mathbb{R} e x\neq0.

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