Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar a solução obtida e encontrar a solução geral usando o método de Variáveis Separáveis. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A incógnita é
função de . - A derivada
está expressa em termos de e . - Há um fator
no denominador, portanto é um ponto onde a equação não está definida (só podemos considerar soluções em intervalos que não contenham ). - O enunciado exige uso do método de Variáveis Separáveis.
Passo 2
Classificação (explicando cada termo de modo simples):
- “Equação diferencial ordinária” porque temos derivada de uma função de uma única variável (
). - “De primeira ordem” porque só aparece
(nenhuma derivada de ordem mais alta). - “Não linear” porque o termo em
aparece elevado a uma potência ( ), não é uma combinação linear de e suas derivadas. - “Separable” (separável) porque podemos escrever a equação de forma que todos os termos que dependem de
fiquem de um lado e todos os termos que dependem de fiquem do outro lado — isto é o que vamos explorar agora.
Passo 3
Ideia do método de Variáveis Separáveis (aula curta e prática):
- Quando uma EDO pode ser escrita como
podemos separar variáveis e obter
e então integrar ambos os lados:
- Regra útil de integração (que vamos usar): para
,
- Cuidado importante: ao dividir por expressões que dependem de
(por exemplo ) devemos lembrar que podemos perder a solução identicamente zero; por isso sempre verificar separadamente.
Passo 4
Aplicando a separação de variáveis à equação dada:
Começamos com
Começamos com
Queremos reunir os
com
e os
com
. Assumindo por ora
e
(vamos tratar
e
depois), dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora temos as variáveis separadas: lado esquerdo só depende de
, lado direito só de
.
Passo 5
Integração passo a passo (mostrando as integrais e a técnica):
Integramos ambos os lados:
Integramos ambos os lados:
Usamos a regra de potências:
e
. Para
temos
e para
Igualando (pode-se juntar as constantes em uma só constante arbitrária
):
Multiplicando por
obtemos
onde
é outra constante arbitrária. Multiplicando por
,
onde
é uma constante arbitrária (renomeamos para simplificar).
Passo 6
Isolando
explicitamente e simplificando a constante:
A partir de
A partir de
invertendo ambos os lados (lembrando que isso exige
e o lado direito diferente de zero),
Colocando em uma forma mais conveniente (reduzindo a uma fração com denominador homogêneo):
Logo, tomando raiz quadrada (duas possibilidades de sinal),
onde
é constante arbitrária. Repare que esta expressão só faz sentido em intervalos onde
(porque a equação original exige
) e onde o quociente dentro da raiz é não negativo (ou seja, onde o sinal de
é compatível com
para tornar o radicando
).
Além desta família, temos a solução trivial obtida ao considerar
separadamente: plugando
na equação dá
e
, logo
também é solução (válida em qualquer intervalo que não contenha
).
Passo 7
Verificação rápida (cheia de sentido e curta):
A forma implícita que obtivemos foi
A forma implícita que obtivemos foi
Diferenciando ambos os lados em relação a
e usando derivação implícita:
- Esquerda:
- Direita:
Igualando as derivadas:
Dividindo por
obtemos
que é equivalentemente
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação original (para
e
). A solução
também satisfaz diretamente a equação.
Passo 8
Observações finais e domínio:
- A equação é definida apenas para
; assim as soluções são consideradas em intervalos que não contenham . - A constante
pode ser qualquer número real; para cada obtemos uma família de soluções válida nos subintervalos onde o radicando é não negativo e . - Não esquecer da solução trivial
, obtida quando dividimos por (procedimento que exige ).
Resposta
Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear e separável; definida para
.\n
Verificação: a solução implícita (com
constante) satisfaz
ao ser diferenciada implicitamente; a solução
também satisfaz a EDO.\n
Solução geral: , onde
é constante arbitrária, juntamente com a solução trivial
; todas válidas em intervalos onde
e o radicando é não negativo.
Verificação: a solução implícita
Solução geral: