Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar a solução obtida e encontrar a solução geral usando o método de Variáveis Separáveis. A equação dada é
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é y função de x.
  • A derivada d y/d x está expressa em termos de x e y.
  • Há um fator x^{2} no denominador, portanto x=0 é um ponto onde a equação não está definida (só podemos considerar soluções em intervalos que não contenham x=0).
  • O enunciado exige uso do método de Variáveis Separáveis.

Passo 2

Classificação (explicando cada termo de modo simples):
  • “Equação diferencial ordinária” porque temos derivada de uma função de uma única variável ( x).
  • “De primeira ordem” porque só aparece \frac{d y}{d x} (nenhuma derivada de ordem mais alta).
  • “Não linear” porque o termo em y aparece elevado a uma potência ( y^{3}), não é uma combinação linear de y e suas derivadas.
  • “Separable” (separável) porque podemos escrever a equação de forma que todos os termos que dependem de y fiquem de um lado e todos os termos que dependem de x fiquem do outro lado — isto é o que vamos explorar agora.

Passo 3

Ideia do método de Variáveis Separáveis (aula curta e prática):
  • Quando uma EDO pode ser escrita como
\frac{d y}{d x}=f(x)\,g(y),
podemos separar variáveis e obter
\frac{1}{g(y)}\,d y=f(x)\,d x,
e então integrar ambos os lados:
\int \frac{1}{g(y)}\,d y=\int f(x)\,d x + C.
  • Regra útil de integração (que vamos usar): para n\neq -1,
\int t^{n}\,d t=\frac{t^{n+1}}{n+1}+ \text{constante}.
  • Cuidado importante: ao dividir por expressões que dependem de y (por exemplo y^{3}) devemos lembrar que podemos perder a solução identicamente zero; por isso sempre verificar y\equiv 0 separadamente.

Passo 4

Aplicando a separação de variáveis à equação dada:
Começamos com
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Queremos reunir os y com d y e os x com d x. Assumindo por ora y\neq 0 e x\neq 0 (vamos tratar y\equiv 0 e x=0 depois), dividimos ambos os lados por y^{3} e multiplicamos por d x:
\frac{1}{y^{3}}\,d y=\frac{1}{x^{2}}\,d x.
Agora temos as variáveis separadas: lado esquerdo só depende de y, lado direito só de x.

Passo 5

Integração passo a passo (mostrando as integrais e a técnica):
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y^{3}}\,d y=\int \frac{1}{x^{2}}\,d x.
Usamos a regra de potências: \frac{1}{y^{3}}=y^{-3} e \frac{1}{x^{2}}=x^{-2}. Para n=-3 temos
\int y^{-3}\,d y=\frac{y^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2y^{2}} + C_1,
e para n=-2
\int x^{-2}\,d x=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}+ C_2.
Igualando (pode-se juntar as constantes em uma só constante arbitrária C):
-\frac{1}{2y^{2}}=-\frac{1}{x}+C.
Multiplicando por -1 obtemos
\frac{1}{2y^{2}}=\frac{1}{x}+C',
onde C'=-C é outra constante arbitrária. Multiplicando por 2,
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}+K,
onde K é uma constante arbitrária (renomeamos para simplificar).

Passo 6

Isolando y explicitamente e simplificando a constante:
A partir de
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}+K,
invertendo ambos os lados (lembrando que isso exige y\neq 0 e o lado direito diferente de zero),
y^{2}=\frac{1}{\dfrac{2}{x}+K}.
Colocando em uma forma mais conveniente (reduzindo a uma fração com denominador homogêneo):
y^{2}=\frac{1}{\dfrac{2+Kx}{x}}=\frac{x}{2+Kx}.
Logo, tomando raiz quadrada (duas possibilidades de sinal),
y(x)=\pm\sqrt{\frac{x}{Kx+2}},
onde K é constante arbitrária. Repare que esta expressão só faz sentido em intervalos onde x\neq 0 (porque a equação original exige x\neq 0) e onde o quociente dentro da raiz é não negativo (ou seja, onde o sinal de Kx+2 é compatível com x para tornar o radicando \ge 0).
Além desta família, temos a solução trivial obtida ao considerar y\equiv 0 separadamente: plugando y\equiv 0 na equação dá \frac{d y}{d x}=0 e \frac{y^{3}}{x^{2}}=0, logo y\equiv 0 também é solução (válida em qualquer intervalo que não contenha x=0).

Passo 7

Verificação rápida (cheia de sentido e curta):
A forma implícita que obtivemos foi
\frac{1}{y^{2}}=\frac{2}{x}+K.
Diferenciando ambos os lados em relação a x e usando derivação implícita:
  • Esquerda: \dfrac{d}{d x}\!\left(\dfrac{1}{y^{2}}\right)=-2\,\dfrac{1}{y^{3}}\,\dfrac{d y}{d x}.
  • Direita: \dfrac{d}{d x}\!\left(\dfrac{2}{x}+K\right)=-\frac{2}{x^{2}}.
    Igualando as derivadas:
-2\,\frac{1}{y^{3}}\,\frac{d y}{d x}=-\frac{2}{x^{2}}.
Dividindo por -2 obtemos
\frac{1}{y^{3}}\,\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x^{2}},
que é equivalentemente
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação original (para y\neq 0 e x\neq 0). A solução y\equiv 0 também satisfaz diretamente a equação.

Passo 8

Observações finais e domínio:
  • A equação é definida apenas para x\neq 0; assim as soluções são consideradas em intervalos que não contenham 0.
  • A constante K pode ser qualquer número real; para cada K obtemos uma família de soluções y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{x}{Kx+2}} válida nos subintervalos onde o radicando é não negativo e Kx+2\neq 0.
  • Não esquecer da solução trivial y\equiv 0, obtida quando dividimos por y^{3} (procedimento que exige y\neq 0).

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear e separável; definida para x\neq 0.\n
Verificação: a solução implícita \dfrac{1}{y^{2}}=\dfrac{2}{x}+K (com K constante) satisfaz \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y^{3}}{x^{2}} ao ser diferenciada implicitamente; a solução y\equiv 0 também satisfaz a EDO.\n
Solução geral: \displaystyle y(x)=\pm\sqrt{\frac{x}{Kx+2}}, onde K é constante arbitrária, juntamente com a solução trivial \;y\equiv 0; todas válidas em intervalos onde x\neq 0 e o radicando é não negativo.

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