Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar três vetores –
,
e
– como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). O assunto aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre a independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos verificar se existe uma combinação linear que satisfaça a equação
, além da solução trivial
.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é combinação linear: estamos procurando coeficientes
,
e
tais que, ao multiplicarmos cada vetor por esses coeficientes e somarmos, o resultado seja o vetor nulo. Se a única solução for
, os vetores são L.I. Se tiver outra solução, são L.D.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações a partir da combinação linear:
Isso resulta no seguinte sistema:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
, podemos isolar
:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituímos
e
na terceira equação:
Então, se
, de
temos
, e de
temos
.
Resposta
Como a única solução do sistema é
, os vetores
,
e
são Linearmente Independentes (L.I.).