Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar os vetores
,
,
e
como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e determinantes. Precisamos verificar se algum desses vetores pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em
, se tivermos mais de três vetores, eles automaticamente são Linearmente Dependentes, porque o espaço tem dimensão 3. Aqui temos quatro vetores, então já sabemos que há dependência.
Passo 3
Mas vamos entender melhor. Para verificar a dependência, vamos tentar ver se conseguimos expressar um vetor como combinação dos outros três. Vamos tentar expressar
como combinação de
,
e
.
Passo 4
Escrevemos a equação:
Substituindo os vetores:
O que nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema, começamos pela segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
E na terceira equação:
Então,
e
.
Passo 6
Encontramos que
. Isso significa que
pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores, provando que eles são Linearmente Dependentes.
Resposta
Os vetores
,
,
e
são Linearmente Dependentes.