Encontrar as equações paramétricas da reta interseção dos Planos:
pi1: 3 x-2 y-z-1=0 e pi2: x+2 y-z-7=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações paramétricas da reta que resulta da interseção de dois planos, chamados de π₁ e π₂. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, onde vamos resolver um sistema de equações para descobrir os pontos que estão em ambos os planos e, assim, definir a reta de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos dois planos de forma mais clara:
pi1: 3x - 2y - z - 1 = 0
pi2: x + 2y - z - 7 = 0
Nosso objetivo é encontrar um conjunto de valores para x, y e z que satisfaçam as duas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações formado por π₁ e π₂. Para facilitar, podemos tentar eliminar uma das variáveis. Por exemplo, podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o termo z:
(3x - 2y - z - 1) - (x + 2y - z - 7) = 0
Simplificando:
3x - 2y - z - 1 - x - 2y + z + 7 = 0
2x - 4y + 6 = 0
2x - 4y = -6
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
x - 2y = -3

Passo 4

Agora, temos uma relação entre x e y:
x = 2y - 3
Vamos atribuir um valor parâmetro para y, digamos y = t, onde t é um número real qualquer. Assim:
x = 2t - 3
Agora, substituímos x e y em uma das equações originais para encontrar z. Vamos usar a segunda equação π₂:
x + 2y - z - 7 = 0
Substituindo x e y:
(2t - 3) + 2(t) - z - 7 = 0
Simplificando:
2t - 3 + 2t - z - 7 = 0
4t - z - 10 = 0
Isolando z:
z = 4t - 10

Passo 5

Agora temos todas as variáveis expressas em termos de t:
x = 2t - 3
y = t
z = 4t - 10
Essas são as equações paramétricas da reta de interseção dos planos π₁ e π₂.

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são:
x = 2t - 3
y = t
z = 4t - 10
onde é um parâmetro real.

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