Um cliente de um banco sacou
80,00
\mathrm{R} $5,00, \mathrm{R} $ 10,00
\mathrm{R} $20,00
x
z
\mathrm{R} $ 5,00, \mathrm{R} $10,00
20,00, recebidas nesse saque, faça o que se pede.
a. Determine uma equação que relacione
,
e
com a quantia sacada por esse cliente.
b. No contexto desse enunciado,
,
e
só podem assumir valores naturais não nulos, pois representam quantidades não nulas de cédulas. Nesse contexto, determine o número de soluções
da equação obtida no item a.
a. Determine uma equação que relacione
b. No contexto desse enunciado,
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O cliente sacou
usando cédulas de , e . - Indicando por
, e os números de cédulas de , e respectivamente, o enunciado afirma que há pelo menos uma cédula de cada valor. Portanto: -
, e são números naturais não nulos (ou seja, , , ).
-
- O enunciado pede:
(a) determinar a equação que relaciona, e com a quantia sacada;
(b) no contextoe não nulos, determinar o número de soluções dessa equação.
Passo 2
Formular a equação do valor total em função de
.
- Cada cédula de
contribui com reais, então total de . - Cada cédula de
contribui com reais, total . - Cada cédula de
contribui com reais, total . - A soma deve ser
. Logo a equação é
Passo 3
Simplificar a equação para facilitar a resolução (dividir pelo máximo divisor comum).
- Todos os coeficientes e o termo à direita são múltiplos de
. Dividindo ambos os lados por obtemos uma forma mais simples:
- Esta é uma equação linear diofantina (coeficientes inteiros) em três variáveis. Procuramos soluções com
e , , .
Passo 4
Expressar
em função de
e
e impor a condição
.
- Da equação reduzida segue
- Como
deve ser inteiro e , temos a desigualdade
- Dividindo por
:
- Como
e são inteiros, a condição inteira equivalente é
- Além disso temos
e . Portanto precisamos contar pares inteiros com , e ; para cada par assim, dado por será um inteiro positivo.
Passo 5
Contar as soluções possíveis variando
e, para cada
, os
admissíveis.
- Para organização, fixo
e obtenho o intervalo de a partir de e . - Caso
: condição . Como , temos . São valores de . - Para cada um calcula-se
. Valores: - Assim obtemos as soluções
: .
- Para cada um calcula-se
- Caso
: condição . Como , . São valores. - Calculando
: - Soluções:
.
- Calculando
- Caso
: condição . Como , apenas . É valor. - Calculando
. - Solução:
.
- Calculando
- Caso
: , logo não há soluções com .
Passo 6
Contagem final e verificação.
- Soma dos casos:
soluções para , para e para . Total de soluções:
- Lista completa das
soluções (todas com ):
Resposta
Número de soluções no conjunto
: