Um cliente de um banco sacou \mathrm{R} \ 80,00 em um caixa eletrônico, em cédulas deôé\mathrm{R} $5,00, \mathrm{R} $ 10,00 e\mathrm{R} $20,00 , com pelo menos uma cédula de cada valor. Indicando, respectivamente, poréx , yez os números de cédulas deúé\mathrm{R} $ 5,00, \mathrm{R} $10,00 e R\ 20,00, recebidas nesse saque, faça o que se pede.
a. Determine uma equação que relacione x, y e z com a quantia sacada por esse cliente.
b. No contexto desse enunciado, x, y e z só podem assumir valores naturais não nulos, pois representam quantidades não nulas de cédulas. Nesse contexto, determine o número de soluções (x, y, z) da equação obtida no item a.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O cliente sacou \mathrm{R}\$80{,}00 usando cédulas de \mathrm{R}\$ 5{,}00, \mathrm{R}\$10{,}00 e \mathrm{R}\$ 20{,}00.
  • Indicando por x, y e z os números de cédulas de \mathrm{R}\$5{,}00, \mathrm{R}\$ 10{,}00 e \mathrm{R}\$ 20{,}00 respectivamente, o enunciado afirma que há pelo menos uma cédula de cada valor. Portanto:
    • x, y e z são números naturais não nulos (ou seja, x\ge 1, y\ge 1, z\ge 1).
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a equação que relaciona x, y e z com a quantia sacada;
    (b) no contexto x,y,z\in\mathbb{N} e não nulos, determinar o número de soluções (x,y,z) dessa equação.

Passo 2

Formular a equação do valor total em função de x,y,z.
  • Cada cédula de \mathrm{R}\$ 5{,}00 contribui com 5 reais, então total de 5x.
  • Cada cédula de \mathrm{R}\$ 10{,}00 contribui com 10 reais, total 10y.
  • Cada cédula de \mathrm{R}\$ 20{,}00 contribui com 20 reais, total 20z.
  • A soma deve ser 80. Logo a equação é
5x + 10y + 20z = 80.

Passo 3

Simplificar a equação para facilitar a resolução (dividir pelo máximo divisor comum).
  • Todos os coeficientes e o termo à direita são múltiplos de 5. Dividindo ambos os lados por 5 obtemos uma forma mais simples:
x + 2y + 4z = 16.
  • Esta é uma equação linear diofantina (coeficientes inteiros) em três variáveis. Procuramos soluções com x,y,z\in\mathbb{N} e x\ge 1, y\ge 1, z\ge 1.

Passo 4

Expressar x em função de y e z e impor a condição x\ge 1.
  • Da equação reduzida segue
x = 16 - 2y - 4z.
  • Como x deve ser inteiro e x\ge 1, temos a desigualdade
16 - 2y - 4z \ge 1 \quad\Longrightarrow\quad 2y + 4z \le 15.
  • Dividindo por 2:
y + 2z \le \tfrac{15}{2} = 7{,}5.
  • Como y e z são inteiros, a condição inteira equivalente é
y + 2z \le 7.
  • Além disso temos y\ge 1 e z\ge 1. Portanto precisamos contar pares inteiros (y,z) com y\ge 1, z\ge 1 e y+2z\le 7; para cada par assim, x dado por x=16-2y-4z será um inteiro positivo.

Passo 5

Contar as soluções possíveis variando z e, para cada z, os y admissíveis.
  • Para organização, fixo z e obtenho o intervalo de y a partir de y+2z\le 7 e y\ge 1.
  • Caso z=1: condição y + 2\cdot 1 \le 7 \Rightarrow y \le 5. Como y\ge 1, temos y=1,2,3,4,5. São 5 valores de y.
    • Para cada um calcula-se x=16-2y-4. Valores: \begin{aligned} y=1 &\Rightarrow x=16-2-4=10,\\\ y=2 &\Rightarrow x=16-4-4=8,\\\ y=3 &\Rightarrow x=16-6-4=6,\\\ y=4 &\Rightarrow x=16-8-4=4,\\\ y=5 &\Rightarrow x=16-10-4=2. \end{aligned}
    • Assim obtemos as soluções (x,y,z): (10,1,1),(8,2,1),(6,3,1),(4,4,1),(2,5,1).
  • Caso z=2: condição y + 2\cdot 2 \le 7 \Rightarrow y \le 3. Como y\ge 1, y=1,2,3. São 3 valores.
    • Calculando x=16-2y-8: \begin{aligned} y=1 &\Rightarrow x=16-2-8=6,\\\ y=2 &\Rightarrow x=16-4-8=4,\\\ y=3 &\Rightarrow x=16-6-8=2. \end{aligned}
    • Soluções: (6,1,2),(4,2,2),(2,3,2).
  • Caso z=3: condição y + 2\cdot 3 \le 7 \Rightarrow y \le 1. Como y\ge 1, apenas y=1. É 1 valor.
    • Calculando x=16-2\cdot1-12=2.
    • Solução: (2,1,3).
  • Caso z\ge 4: y+2z\ge 2\cdot 4 + 1 = 9 >7, logo não há soluções com z\ge 4.

Passo 6

Contagem final e verificação.
  • Soma dos casos: 5 soluções para z=1, 3 para z=2 e 1 para z=3. Total de soluções:
5 + 3 + 1 = 9.
  • Lista completa das 9 soluções (x,y,z) (todas com x,y,z\ge 1):
(10,1,1),\\ (8,2,1),\\ (6,3,1),\\ (4,4,1),\\ (2,5,1),\\ (6,1,2),\\ (4,2,2),\\ (2,3,2),\\ (2,1,3).

Resposta

5x + 10y + 20z = 80
Número de soluções no conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3 \mid x,y,z\ge 1\}: 9

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