Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & 3 & -1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 & 5 & -2 \\\\ 1 & 2 & -1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1\end{array}\right) e D=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 1 & -1 & 4 \\\\ 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 4 & 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 2\end{array}\right) satisfazem a relação A^{-1} B A=D então \operatorname{det} B=24.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes A e D (mostradas no enunciado) e afirma que existe uma matriz B satisfazendo
A^{-1} B A = D.
A pergunta é: a afirmação ``\det B = 24’’ é VERDADEIRA ou FALSA?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Está explícito que A^{-1} existe, portanto A é invertível.
A relação A^{-1} B A = D significa que B e D são matrizes semelhantes via A.
Precisa-se verificar se, a partir dessa relação e das matrizes fornecidas, decorre que \det B = 24.
Passo 2
Propriedade importante (explicação didática): a determinante é multiplicativa e comportamento com inversa.
Para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y vale
\det(XY)=\det X\cdot\det Y.
Para uma matriz invertível X vale
\det(X^{-1})=\frac{1}{\det X}.
Usando essas duas propriedades, se temos \,A^{-1} B A = D, então calculando determinantes em ambos os lados obtemos
\det(A^{-1} B A)=\det D.
Pela multiplicatividade,
\det(A^{-1} B A)=\det(A^{-1})\det(B)\det(A)=\frac{1}{\det A}\det B\det A=\det B.
Portanto, sempre que duas matrizes são semelhantes (como B e D aqui), elas têm a mesma determinante:
\det B=\det D.
Conclusão intermediária: para decidir sobre a veracidade da afirmação basta calcular \det D e ver se é 24.
Passo 3
Plano para calcular \det D: vou calcular \det D por operações elementares nas linhas que não alteram o determinante (operações do tipo R_i\leftarrow R_i - kR_j) e depois expandir por uma coluna com muitos zeros para simplificar os cálculos. Todas as operações e justificativas serão mostradas passo a passo, com as contas detalhadas.
Faço operações do tipo R_i\leftarrow R_i - kR_1 ou R_i\leftarrow R_i + kR_1 para anular a primeira coluna abaixo da primeira linha. Essas operações não mudam o determinante. Aplicando:
Para calcular \det M observo a segunda coluna de M, que tem entradas 0,2,2,0. Expandir por essa coluna é vantajoso porque há dois zeros. Vou fazer a expansão por essa segunda coluna (coluna indexada como coluna 2):
\det M = (+1)\cdot 2\cdot\det M_{2,2} \;+\; (-1)\cdot 2\cdot\det M_{3,2},
onde M_{2,2} é a matriz obtida ao remover a 2ª linha e 2ª coluna de M, e M_{3,2} é a matriz obtida ao remover a 3ª linha e 2ª coluna de M. Observando os sinais de cofatores, obtemos
Com os valores \det A = -9 e \det B = -21 (estes eram os menores usados na expansão, atenção aos nomes), voltamos à expressão de \det M:
\det M = 2(\det A - \det B) = 2\big((-9) - (-21)\big) = 2\cdot 12 = 24.
Então
\det D = 1\cdot\det M = 24.
Pelo Passo 2 temos \det B=\det D, logo
\det B = 24.
Portanto a afirmação do enunciado é VERDADEIRA — e foi demonstrada: similaridade preserva determinante e o determinante de D calculado explicitamente é 24.