Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & 3 & -1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 & 5 & -2 \\\\ 1 & 2 & -1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1\end{array}\right) e D=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 1 & -1 & 4 \\\\ 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 4 & 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 2\end{array}\right) satisfazem a relação A^{-1} B A=D então \operatorname{det} B=24.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e D (mostradas no enunciado) e afirma que existe uma matriz B satisfazendo
A^{-1} B A = D.
A pergunta é: a afirmação `` \det B = 24’’ é VERDADEIRA ou FALSA?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Está explícito que A^{-1} existe, portanto A é invertível.
  • A relação A^{-1} B A = D significa que B e D são matrizes semelhantes via A.
  • Precisa-se verificar se, a partir dessa relação e das matrizes fornecidas, decorre que \det B = 24.

Passo 2

Propriedade importante (explicação didática): a determinante é multiplicativa e comportamento com inversa.
  • Para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y vale
\det(XY)=\det X\cdot\det Y.
  • Para uma matriz invertível X vale
\det(X^{-1})=\frac{1}{\det X}.
Usando essas duas propriedades, se temos \,A^{-1} B A = D, então calculando determinantes em ambos os lados obtemos
\det(A^{-1} B A)=\det D.
Pela multiplicatividade,
\det(A^{-1} B A)=\det(A^{-1})\det(B)\det(A)=\frac{1}{\det A}\det B\det A=\det B.
Portanto, sempre que duas matrizes são semelhantes (como B e D aqui), elas têm a mesma determinante:
\det B=\det D.
Conclusão intermediária: para decidir sobre a veracidade da afirmação basta calcular \det D e ver se é 24.

Passo 3

Plano para calcular \det D: vou calcular \det D por operações elementares nas linhas que não alteram o determinante (operações do tipo R_i\leftarrow R_i - kR_j) e depois expandir por uma coluna com muitos zeros para simplificar os cálculos. Todas as operações e justificativas serão mostradas passo a passo, com as contas detalhadas.

Passo 4

Escrever a matriz D (tomada do enunciado):
D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 3 & 1 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 4 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Faço operações do tipo R_i\leftarrow R_i - kR_1 ou R_i\leftarrow R_i + kR_1 para anular a primeira coluna abaixo da primeira linha. Essas operações não mudam o determinante. Aplicando:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 + R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 + R_1,\\\ R_5 &\leftarrow R_5 - 2R_1, \end{aligned}
obtém-se a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 3 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 4 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna agora tem zeros na posição 2 a 5, posso expandir o determinante de D pela primeira coluna: como o elemento (1,1) é 1,
\det D = 1\cdot\det M,
onde M é a submatriz 4\times4 obtida excluindo a primeira linha e a primeira coluna:
M=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 & -3\\[4pt] 1 & 2 & 0 & 5\\[4pt] 4 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para calcular \det M observo a segunda coluna de M, que tem entradas 0,2,2,0. Expandir por essa coluna é vantajoso porque há dois zeros. Vou fazer a expansão por essa segunda coluna (coluna indexada como coluna 2):
\det M = (+1)\cdot 2\cdot\det M_{2,2} \;+\; (-1)\cdot 2\cdot\det M_{3,2},
onde M_{2,2} é a matriz obtida ao remover a 2ª linha e 2ª coluna de M, e M_{3,2} é a matriz obtida ao remover a 3ª linha e 2ª coluna de M. Observando os sinais de cofatores, obtemos
\det M = 2\det A - 2\det B,
com
A=\begin{pmatrix} 3 & 3 & -3\\[4pt] 4 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 3 & -6 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 3 & 3 & -3\\[4pt] 1 & 0 & 5\\[4pt] 1 & 3 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculo \det A e \det B explicitamente (cada uma é 3\times3).
Cálculo de \det A:
A=\begin{pmatrix} 3 & 3 & -3\\[4pt] 4 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 3 & -6 \end{pmatrix}.
Usando a fórmula de Sarrus/expansão por primeira linha,
\begin{aligned} \det A &= 3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 5\\[2pt] 3 & -6\end{pmatrix} - 3\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 5\\[2pt] 1 & -6\end{pmatrix} + (-3)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}\\[4pt] &= 3\big(1\cdot(-6)-5\cdot 3\big) - 3\big(4\cdot(-6)-5\cdot 1\big) -3\big(4\cdot 3 - 1\cdot 1\big)\\[4pt] &= 3(-6-15) - 3(-24-5) -3(12-1)\\[4pt] &= 3(-21) - 3(-29) -3(11)\\[4pt] &= -63 +87 -33 = -9. \end{aligned}
Cálculo de \det B:
B=\begin{pmatrix} 3 & 3 & -3\\[4pt] 1 & 0 & 5\\[4pt] 1 & 3 & -6 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\begin{aligned} \det B &= 3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 5\\[2pt] 3 & -6\end{pmatrix} - 3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 5\\[2pt] 1 & -6\end{pmatrix} + (-3)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}\\[4pt] &= 3\big(0\cdot(-6)-5\cdot 3\big) - 3\big(1\cdot(-6)-5\cdot 1\big) -3\big(1\cdot 3 - 0\cdot 1\big)\\[4pt] &= 3(-15) - 3(-11) -3(3)\\[4pt] &= -45 +33 -9 = -21. \end{aligned}]

Passo 7

Com os valores \det A = -9 e \det B = -21 (estes eram os menores usados na expansão, atenção aos nomes), voltamos à expressão de \det M:
\det M = 2(\det A - \det B) = 2\big((-9) - (-21)\big) = 2\cdot 12 = 24.
Então
\det D = 1\cdot\det M = 24.
Pelo Passo 2 temos \det B=\det D, logo
\det B = 24.
Portanto a afirmação do enunciado é VERDADEIRA — e foi demonstrada: similaridade preserva determinante e o determinante de D calculado explicitamente é 24.

Resposta

VERDADEIRA

Exercícios relacionados