Clínica médica: Os pacientes chegam com um tempo médio entre chegadas sucessivas de 3 minutos (exponencialmente distribuídos).
Eles formam fila única na recepção para preenchimento da ficha e depois são encaminhados para um dos três médicos. Caso os médicos estejam ocupados, o cliente permanece em fila, aguardando atendimento.
Os tempos para preenchimento da ficha na recepção são exponencialmente distribuidos com média de 10 min . Os médicos levam em media 20 min para atendimento, segundo uma distribuiçāo
No final da consulta, os pacientes retornam às recepcionistas (duas) para efetuarem o pagamento e exponencial. agendarem as próximas consultas, passando na frente das pessoas que ainda vão se cadastrar, o que demora um tempo uniformemente distribuído entre 1 e 4 min .
Eles formam fila única na recepção para preenchimento da ficha e depois são encaminhados para um dos três médicos. Caso os médicos estejam ocupados, o cliente permanece em fila, aguardando atendimento.
Os tempos para preenchimento da ficha na recepção são exponencialmente distribuidos com média de 10 min . Os médicos levam em media 20 min para atendimento, segundo uma distribuiçāo
No final da consulta, os pacientes retornam às recepcionistas (duas) para efetuarem o pagamento e exponencial. agendarem as próximas consultas, passando na frente das pessoas que ainda vão se cadastrar, o que demora um tempo uniformemente distribuído entre 1 e 4 min .
Passo 1
O enunciado dá um sistema de atendimento em três etapas e pede implicitamente que a gente analise o comportamento do sistema (se ele é estável ou não) e calcule quantidades úteis para projetar o atendimento. Vou listar claramente o que foi dado e o que vou responder sem inventar nada:
- Dados fornecidos:
- Tempo médio entre chegadas sucessivas:
minutos (distribuição exponencial). - Recepção (preenchimento de ficha): um único guichê; tempos exponenciais com média
minutos. - Médicos:
médicos; cada atendimento tem média minutos (distribuição indicada). - Pagamento/agendamento: há
recepcionistas para isso; o tempo desse atendimento é uniformemente distribuído entre e minutos (o texto está um pouco misturado, mas peguei da frase que “dura entre 1 e 4 min” como serviço uniforme com essa média).
- Tempo médio entre chegadas sucessivas:
- Perguntas que vou responder (inferidas do enunciado e necessárias para analisar o sistema):
- Calcular as taxas de chegada e de serviço (em pacientes por minuto).
- Verificar estabilidade (ou seja, se as filas permanecem estacionárias) em cada etapa.
- Para as etapas instáveis, calcular quantos servidores seriam necessários para tornar a etapa estável.
- Comentar, de forma didática, o porquê desses cálculos e dar recomendações práticas.
A partir daqui vou explicar passo a passo a teoria usada e aplicar aos números do enunciado.
Passo 2
Converter tempos médios em taxas (lembrando: taxa
é o número médio de chegadas por minuto; taxa de serviço
é o número médio de atendimentos por minuto de um servidor).
-
Taxa de chegada (chegadas por minuto):Vou usar
. -
Recepção (pré-cadastro): tempo médio de serviço
min, então a taxa de serviço por servidor é Pelo enunciado parece haver um único guichê de cadastro inicial. -
Médicos: tempo médio de atendimento por médico
min, então Número de servidores. -
Pagamento/agendamento: distribuição uniforme entre
e min. A média de uma uniforme é . Então Logo a taxa por servidor ée o número de servidores é.
Passo 3
Explicar o conceito de utilização e condição de estabilidade (com exemplos simples):
- Intuição: para uma estação com
servidores, taxa de chegada média e taxa de serviço por servidor , uma condição mínima e necessária para que filas não cresçam indefinidamente é que a capacidade total de atendimento supere a demanda: e a condição de estabilidade é Definimos a utilização por servidor (quando faz sentido) como - Se
, a etapa está sobrecarregada e a fila tende a crescer sem limite (instável). - Se
, a etapa pode alcançar estado estacionário (estável) e medidas médias fazem sentido.
- Se
Agora aplico essa ideia nas três etapas.
Passo 4
Recepção (pré-cadastro): há
servidor.
-
Calcular utilização:Interpretação:
. Isso quer dizer que, com apenas um guichê de cadastro e média de minutos por cadastro, chegam mais pacientes por unidade de tempo do que esse guichê consegue atender. Portanto a fila de cadastro crescerá indefinidamente (instabilidade). Em linguagem prática: o único recepcionista gasta, em média, minutos por pessoa, mas chega uma pessoa a cada minutos — não dá conta. -
Quantos guichês seriam necessários para estabilizar a recepção?
Queremos o menorinteiro tal que Calcular o quociente:Logo o menorinteiro estritamente maior que é . Portanto é necessário ter pelo menos guichês de cadastro (ou outras medidas equivalentes, como reduzir chegada média ou reduzir tempo de cadastro) para que essa etapa seja estável.
Passo 5
Médicos: são
servidores, taxa por servidor
. A chegada para os médicos é a saída da recepção; assumindo equilíbrio e servidores exponenciais (teorema de Burke e propriedades de processos Poisson em redes abertas), a taxa de chegada efetiva para a equipe de médicos será
(ou seja, a mesma taxa média que entra no sistema). Mesmo sem entrar em detalhes teóricos, para avaliar capacidade é razoável usar
como demanda média que precisa ser atendida pelos médicos.
-
Calcular utilização:Assim
. Conclusão: os 3 médicos também não dão conta da demanda — a fila para atendimento médico tenderá a crescer indefinidamente (instável). -
Quantos médicos seriam necessários?
Precisamos do menor inteirotal que Calcular o quociente:O menor inteiro maior queé . Portanto são necessários pelo menos médicos (ou reduzir a chegada ou reduzir tempo médio de consulta) para que a etapa dos médicos seja estável.
Passo 6
Pagamento/agendamento:
servidores; serviço por servidor tem média
min, então
.
-
Calcular utilização:Então
. Conclusão: a etapa de pagamento/agendamento, com servidores que fazem em média min cada, tem capacidade suficiente para atender a taxa média de saída dos médicos; esta etapa é, por si só, estável. -
Observação sobre a distribuição uniforme: por ser M/G/2 (chegada aproximadamente Poisson, serviço geral), não temos fórmulas simples e exatas tão compactas quanto M/M/c para métricas de espera, mas a condição de estabilidade depende apenas de
e da média , então a verificação de estabilidade acima é válida (estabilidade depende da média de serviço total).
Passo 7
Resumo das implicações práticas (explicando o porquê de forma simples e motivadora):
- A principal causa de instabilidade nas etapas de cadastro e consulta médica é que o tempo médio de serviço é muito maior que o intervalo médio entre chegadas. Na recepção cada cadastro demora
min em média, mas entra gente a cada min — por isso um guichê só não funciona. O mesmo raciocínio vale para os médicos: cada médico atende em média min, com chegadas a cada min, e apenas médicos não são suficientes. - Para projetar o número mínimo de servidores para evitar crescimento indefinido das filas, usamos a regra simples:
onde é a taxa por servidor e a taxa de chegada. Aplicando aos dados obtemos os números calculados antes. - Recomendações rápidas (práticas):
- Aumentar guichês de cadastro para pelo menos
(ou reduzir o tempo de cadastro para menos que min em média). - Ter pelo menos
médicos equivalentes em capacidade média de min cada (ou reduzir a consulta média). - O serviço de pagamento com
recepcionistas e média min já é compatível com a taxa média — ele não é o gargalo principal.
- Aumentar guichês de cadastro para pelo menos
- Motivação final: até que os gargalos (cadastro e médicos) sejam resolvidos, filas e tempos de espera observados na recepção e para os médicos vão crescer, e métricas de tempo médio e fila não terão valores finitos em estado estacionário.
Resposta
Recepção (pré-cadastro): instável com
. Necessário pelo menos
guichês.
Médicos: instável com
. Necessário pelo menos
médicos.
Pagamento/agendamento: estável com
.