Clínica médica: Os pacientes chegam com um tempo médio entre chegadas sucessivas de 3 minutos (exponencialmente distribuídos).
Eles formam fila única na recepção para preenchimento da ficha e depois são encaminhados para um dos três médicos. Caso os médicos estejam ocupados, o cliente permanece em fila, aguardando atendimento.
Os tempos para preenchimento da ficha na recepção são exponencialmente distribuidos com média de 10 min . Os médicos levam em media 20 min para atendimento, segundo uma distribuiçāo
No final da consulta, os pacientes retornam às recepcionistas (duas) para efetuarem o pagamento e exponencial. agendarem as próximas consultas, passando na frente das pessoas que ainda vão se cadastrar, o que demora um tempo uniformemente distribuído entre 1 e 4 min .

Passo 1

O enunciado dá um sistema de atendimento em três etapas e pede implicitamente que a gente analise o comportamento do sistema (se ele é estável ou não) e calcule quantidades úteis para projetar o atendimento. Vou listar claramente o que foi dado e o que vou responder sem inventar nada:
  • Dados fornecidos:
    • Tempo médio entre chegadas sucessivas: 3 minutos (distribuição exponencial).
    • Recepção (preenchimento de ficha): um único guichê; tempos exponenciais com média 10 minutos.
    • Médicos: 3 médicos; cada atendimento tem média 20 minutos (distribuição indicada).
    • Pagamento/agendamento: há 2 recepcionistas para isso; o tempo desse atendimento é uniformemente distribuído entre 1 e 4 minutos (o texto está um pouco misturado, mas peguei da frase que “dura entre 1 e 4 min” como serviço uniforme com essa média).
  • Perguntas que vou responder (inferidas do enunciado e necessárias para analisar o sistema):
    1. Calcular as taxas de chegada e de serviço (em pacientes por minuto).
    2. Verificar estabilidade (ou seja, se as filas permanecem estacionárias) em cada etapa.
    3. Para as etapas instáveis, calcular quantos servidores seriam necessários para tornar a etapa estável.
    4. Comentar, de forma didática, o porquê desses cálculos e dar recomendações práticas.
A partir daqui vou explicar passo a passo a teoria usada e aplicar aos números do enunciado.

Passo 2

Converter tempos médios em taxas (lembrando: taxa \lambda é o número médio de chegadas por minuto; taxa de serviço \mu é o número médio de atendimentos por minuto de um servidor).
  • Taxa de chegada (chegadas por minuto):
    \lambda = \frac{1}{\text{tempo médio entre chegadas}} = \frac{1}{3}\\ \text{(pacientes/min)}.é
    Vou usar \lambda = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333\\ \text{pacientes/min}.
  • Recepção (pré-cadastro): tempo médio de serviço =10 min, então a taxa de serviço por servidor é
    \mu_{\text{rec}} = \frac{1}{10} = 0{,}1\\ \text{pacientes/min}.
    Pelo enunciado parece haver um único guichê de cadastro inicial.
  • Médicos: tempo médio de atendimento por médico =20 min, então
    \mu_{\text{med}} = \frac{1}{20} = 0{,}05\\ \text{pacientes/min}.
    Número de servidores c_{\text{med}} = 3.
  • Pagamento/agendamento: distribuição uniforme entre 1 e 4 min. A média de uma uniforme U(a,b) é \dfrac{a+b}{2}. Então
    \text{média} = \frac{1+4}{2} = 2{,}5\\ \text{min}.é
    Logo a taxa por servidor é
    \mu_{\text{pag}} = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4\\ \text{pacientes/min},
    e o número de servidores é c_{\text{pag}} = 2.

Passo 3

Explicar o conceito de utilização e condição de estabilidade (com exemplos simples):
  • Intuição: para uma estação com s servidores, taxa de chegada média \lambda e taxa de serviço por servidor \mu, uma condição mínima e necessária para que filas não cresçam indefinidamente é que a capacidade total de atendimento supere a demanda: \text{capacidade total} = s\mu,e a condição de estabilidade é \lambda < s\mu.Definimos a utilização por servidor (quando faz sentido) como \rho = \frac{\lambda}{s\mu}.
    • Se \rho \ge 1, a etapa está sobrecarregada e a fila tende a crescer sem limite (instável).
    • Se \rho < 1, a etapa pode alcançar estado estacionário (estável) e medidas médias fazem sentido.
Agora aplico essa ideia nas três etapas.

Passo 4

Recepção (pré-cadastro): há s_{\text{rec}}=1 servidor.
  • Calcular utilização:
    \rho_{\text{rec}} = \frac{\lambda}{1\cdot \mu_{\text{rec}}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{0{,}1} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{0{,}1} = \frac{1}{3}\cdot 10 = \frac{10}{3} \approx 3{,}3333.
    Interpretação: \rho_{\text{rec}}\approx 3{,}33 > 1. Isso quer dizer que, com apenas um guichê de cadastro e média de 10 minutos por cadastro, chegam mais pacientes por unidade de tempo do que esse guichê consegue atender. Portanto a fila de cadastro crescerá indefinidamente (instabilidade). Em linguagem prática: o único recepcionista gasta, em média, 10 minutos por pessoa, mas chega uma pessoa a cada 3 minutos — não dá conta.
  • Quantos guichês seriam necessários para estabilizar a recepção?
    Queremos o menor s_{\text{rec}} inteiro tal que
    \lambda < s_{\text{rec}}\mu_{\text{rec}} \quad\Longleftrightarrow\quad s_{\text{rec}} > \frac{\lambda}{\mu_{\text{rec}}}.
    Calcular o quociente:
    \frac{\lambda}{\mu_{\text{rec}}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{0{,}1} = \frac{10}{3} \approx 3{,}3333.
    Logo o menor s_{\text{rec}} inteiro estritamente maior que 3{,}3333 é 4. Portanto é necessário ter pelo menos 4 guichês de cadastro (ou outras medidas equivalentes, como reduzir chegada média ou reduzir tempo de cadastro) para que essa etapa seja estável.

Passo 5

Médicos: são c_{\text{med}}=3 servidores, taxa por servidor \mu_{\text{med}}=0{,}05. A chegada para os médicos é a saída da recepção; assumindo equilíbrio e servidores exponenciais (teorema de Burke e propriedades de processos Poisson em redes abertas), a taxa de chegada efetiva para a equipe de médicos será \lambda (ou seja, a mesma taxa média que entra no sistema). Mesmo sem entrar em detalhes teóricos, para avaliar capacidade é razoável usar \lambda como demanda média que precisa ser atendida pelos médicos.
  • Calcular utilização:
    \rho_{\text{med}} = \frac{\lambda}{c_{\text{med}}\mu_{\text{med}}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{3\cdot 0{,}05} = \frac{\tfrac{1}{3}}{0{,}15} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{0{,}15} = \frac{1}{3}\cdot \frac{100}{15}=\frac{100}{45}\approx 2{,}2222.
    Assim \rho_{\text{med}}\approx 2{,}22 > 1. Conclusão: os 3 médicos também não dão conta da demanda — a fila para atendimento médico tenderá a crescer indefinidamente (instável).
  • Quantos médicos seriam necessários?
    Precisamos do menor inteiro c_{\text{med}} tal que
    \lambda < c_{\text{med}}\mu_{\text{med}} \quad\Longleftrightarrow\quad c_{\text{med}} > \frac{\lambda}{\mu_{\text{med}}}.
    Calcular o quociente:
    \frac{\lambda}{\mu_{\text{med}}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{0{,}05} = \frac{1}{3}\cdot 20 = \frac{20}{3} \approx 6{,}6667.
    O menor inteiro maior que 6{,}6667 é 7. Portanto são necessários pelo menos 7 médicos (ou reduzir a chegada ou reduzir tempo médio de consulta) para que a etapa dos médicos seja estável.

Passo 6

Pagamento/agendamento: c_{\text{pag}}=2 servidores; serviço por servidor tem média 2{,}5 min, então \mu_{\text{pag}}=0{,}4.
  • Calcular utilização:
    \rho_{\text{pag}} = \frac{\lambda}{c_{\text{pag}}\mu_{\text{pag}}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{2\cdot 0{,}4} = \frac{\tfrac{1}{3}}{0{,}8} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{0{,}8} = \frac{1}{3}\cdot 1{,}25 \approx 0{,}4167.
    Então \rho_{\text{pag}}\approx 0{,}4167 < 1. Conclusão: a etapa de pagamento/agendamento, com 2 servidores que fazem em média 2{,}5 min cada, tem capacidade suficiente para atender a taxa média de saída dos médicos; esta etapa é, por si só, estável.
  • Observação sobre a distribuição uniforme: por ser M/G/2 (chegada aproximadamente Poisson, serviço geral), não temos fórmulas simples e exatas tão compactas quanto M/M/c para métricas de espera, mas a condição de estabilidade depende apenas de \lambda e da média \mu_{\text{pag}}, então a verificação de estabilidade acima é válida (estabilidade depende da média de serviço total).

Passo 7

Resumo das implicações práticas (explicando o porquê de forma simples e motivadora):
  • A principal causa de instabilidade nas etapas de cadastro e consulta médica é que o tempo médio de serviço é muito maior que o intervalo médio entre chegadas. Na recepção cada cadastro demora 10 min em média, mas entra gente a cada 3 min — por isso um guichê só não funciona. O mesmo raciocínio vale para os médicos: cada médico atende em média 20 min, com chegadas a cada 3 min, e apenas 3 médicos não são suficientes.
  • Para projetar o número mínimo de servidores para evitar crescimento indefinido das filas, usamos a regra simples: \text{servidores mínimos} = \left\lceil \frac{\lambda}{\mu} \right\rceil,íonde \mu é a taxa por servidor e \lambda a taxa de chegada. Aplicando aos dados obtemos os números calculados antes.
  • Recomendações rápidas (práticas):
    • Aumentar guichês de cadastro para pelo menos 4 (ou reduzir o tempo de cadastro para menos que 3 min em média).
    • Ter pelo menos 7 médicos equivalentes em capacidade média de 20 min cada (ou reduzir a consulta média).
    • O serviço de pagamento com 2 recepcionistas e média 2{,}5 min já é compatível com a taxa média — ele não é o gargalo principal.
  • Motivação final: até que os gargalos (cadastro e médicos) sejam resolvidos, filas e tempos de espera observados na recepção e para os médicos vão crescer, e métricas de tempo médio e fila não terão valores finitos em estado estacionário.

Resposta

Recepção (pré-cadastro): instável com \rho_{\text{rec}} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{0{,}1} = \dfrac{10}{3}\approx 3{,}3333>1. Necessário pelo menos 4 guichês.
Médicos: instável com \rho_{\text{med}} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{3\cdot 0{,}05} \approx 2{,}2222>1. Necessário pelo menos 7 médicos.
Pagamento/agendamento: estável com \rho_{\text{pag}} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{2\cdot 0{,}4} \approx 0{,}4167<1.

Exercícios relacionados