Lavanderia. Os consumidores chegam numa lavanderia com intervalo médio entre chegadas de 10 minutos (distribuidos exponencialmente) para lavar e secar suas roupas. Depois de chegarem, utilizam as máquinas de lavar (que são 7 ao todo). O tempo de lavagem é constante: demora 25 minutos. No final da lavagem, o consumidor retira as roupas da máquina, coloca-as num cesto (há 12 cestos ao todo) e leva o cesto para a secadora. O tempo de descarregamento das roupas da máquina de lavar está uniformemente distribuido entre 1 e 4 minutos. O tempo para transportar as roupas da máquina de lavagem até a secadora está uniformemente distribuido entre 3 e 5 minutos. O cliente, então, carrega a secadora, o que demora somente 2 minutos; espera a secagem; descarrega as roupas; e sai da lavanderia. O tempo de secagem + descarregamento é normalmente distribuído com média de 10 minutos e desvio-padrão de 4 minutos. Há 2 secadoras na lavanderia e 7 máquinas de lavar.

Passo 1

Enunciado resumido e o que vamos responder (tudo o que há de importante, extraído do enunciado):
  • Chegadas: intervalo médio entre chegadas =10 minutos, distribuído exponencialmente.
  • Máquinas de lavar: 7 máquinas. Tempo de lavagem constante =25 minutos.
  • Descarregamento da máquina de lavar: tempo uniforme entre 1 e 4 minutos.
  • 12 cestos no sistema.
  • Transporte da máquina de lavar até a secadora: tempo uniforme entre 3 e 5 minutos.
  • Carregar a secadora: 2 minutos.
  • Tempo de secagem + descarregamento: distribuição normal com média 10 minutos e desvio-padrão 4 minutos.
  • Secadoras: 2 máquinas.
Perguntas que vamos responder (decidi analisar estes indicadores que costumam ser pedidos em prova):
  1. Taxa de chegada \lambda em clientes/minuto.
  2. Taxa de serviço e utilização das máquinas de lavar (por máquina) e das secadoras (por secadora).
  3. Probabilidade de ter que esperar por uma máquina de lavar e tempo médio de espera na fila de lavagem.
  4. Probabilidade de ter que esperar por uma secadora e tempo médio de espera na fila de secagem (aproximação razoável para distribuição dada).
  5. Probabilidade de falta de cestos (bloqueio) e conclusão se isso é relevante.
  6. Tempo médio total que o cliente passa na lavanderia (do início até sair), estimado com as suposições feitas.
Observações de modelagem que vou adotar (explicitando suposições para não inventar nada não pedido):
  • Vou assumir que o tempo de descarregamento da lavagem (uniforme 1 4) é feito antes do cliente liberar a máquina — ou seja, a máquina fica ocupada por 25 (lavagem) + tempo de descarregamento. Logo serviço médio na lavadora inclui esse descarregamento.
  • Vou assumir que o cliente pega um cesto logo após descarregar a máquina, transporta até a secadora (tempo médio 4 min) e espera na fila da secadora; ao chegar na secadora ele carrega (2 min) — esse carregamento ocupa a secadora e também é o momento em que o cesto é liberado (ou seja: o cesto é mantido desde que sai da lavadora até terminar o carregamento da secadora). Depois, a secadora executa a secagem + descarregamento (média 10 min, já dada). Assim o tempo que a secadora ocupa inclui os 2 min de carregamento + os 10 min de secagem/descarregamento.
  • Vou tratar as chegadas como Poisson (dado que os intervalos são exponenciais) e aplicar fórmulas clássicas de filas multi‑servidor (Erlang C) e de perda em cestos (Erlang B) quando apropriado. Para a secadora, por ter serviço não exponencial (normal), vou usar uma aproximação prática (veremos o porquê e como) que corrige a estimativa M/M/c pela variabilidade do serviço.
Agora que está tudo claro e as suposições estabelecidas, começo a resolver.

Passo 2

Calcular a taxa de chegada \lambda.
  • Dado que o intervalo médio entre chegadas é 10 minutos, a taxa de chegada em clientes por minuto é
\lambda = \frac{1}{10} = 0{,}1\\ \text{clientes/min}.
Explicação curta: se, em média, chega um cliente a cada 10 min, então a taxa média de chegadas por minuto é 1/10. Pronto, usamos isso em todos os cálculos seguintes.

Passo 3

Tempo médio de serviço nas máquinas de lavar e parâmetros associados.
  • Tempo de lavagem é constante 25 min.
  • Tempo de descarregamento (uniforme entre 1 e 4 min) tem média
E[\text{descarregamento}] = \frac{1+4}{2} = 2{,}5\\ \text{min}.
  • Assim o tempo médio total em que uma lavadora fica ocupada por um cliente é
E[S_w] = 25 + 2{,}5 = 27{,}5\\ \text{min}.
  • Taxa de serviço por lavadora (média) é
\mu_w = \frac{1}{E[S_w]} = \frac{1}{27{,}5} \approx 0{,}0363636\\ \text{clientes/min}.
  • Cálculo do “offered load” total (Erlangs) para a etapa das lavadoras:
a_w = \lambda \, E[S_w] = 0{,}1 \times 27{,}5 = 2{,}75\\ \text{Erlangs}.
  • Utilização média de cada lavadora (fração do tempo ocupada):
\rho_w = \frac{a_w}{c_w} = \frac{2{,}75}{7} \approx 0{,}392857 \;(\approx 39{,}29\%).
Breve explicação: a_w é a carga oferecida ao conjunto de lavadoras em Erlangs; dividir por c dá a utilização por servidor. Se \rho<1, o sistema de servidores pode atender, senão fica saturado.

Passo 4

Probabilidade de esperar por uma lavadora (Erlang C) e tempo médio de espera na fila de lavagem.
Vou usar a fórmula de Erlang C (aproximação M/M/c) para estimar a probabilidade de que um cliente encontre todas as lavadoras ocupadas. A fórmula de Erlang C (probabilidade de espera) é
P_{\text{espera}} = \frac{\dfrac{a^{c}}{c!}\cdot\dfrac{c}{c-a}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{c-1}\frac{a^{k}}{k!} + \dfrac{a^{c}}{c!}\cdot\dfrac{c}{c-a}},
onde a=\lambda E[S] (Erlangs) e c é o número de servidores.
Aqui a=2{,}75 e c=7. Vamos calcular os termos numéricos (faço passo a passo):
  • Calculei os termos \dfrac{a^k}{k!} para k=0,\dots,6:
\begin{aligned} &\frac{a^0}{0!}=1\\\ &\frac{a^1}{1!}=2{,}75\\\ &\frac{a^2}{2!}=3{,}78125\\\ &\frac{a^3}{3!}=3{,}4661458\\\ &\frac{a^4}{4!}=2{,}3838086\\\ &\frac{a^5}{5!}=1{,}314804\\\ &\frac{a^6}{6!}=0{,}60234\\ (\text{aprox.}) \end{aligned}
Somando esses termos obtemos aproximadamente 15{,}29835.
  • Termo a^7/7! calcula-se (aprox.) como 0{,}2367. Em seguida multiplicamos por \dfrac{c}{c-a}=\dfrac{7}{7-2{,}75}=\dfrac{7}{4{,}25}\approx1{,}64706, obtendo o numerador da fração como aproximadamente 0{,}3898.
  • Assim a probabilidade de espera na fila de lavagem é
P_{\text{espera, lavar}} \approx \frac{0{,}3898}{15{,}29835 + 0{,}3898} \approx \frac{0{,}3898}{15{,}68815} \approx 0{,}02484.
Então
P_{\text{espera, lavar}} \approx 0{,}0248 \quad(\approx 2{,}48\%).
Tempo médio de espera na fila para lavadoras (usando fórmula de W_q para M/M/c):
W_{q,w} = \frac{P_{\text{espera, lavar}}}{c\mu_w - \lambda}.
Aqui c\mu_w = 7\times \frac{1}{27{,}5} \approx 0{,}254545 e c\mu_w - \lambda \approx 0{,}154545.
Logo
W_{q,w} \approx \frac{0{,}02484}{0{,}154545} \approx 0{,}1607\\ \text{min} \quad(\approx 9{,}64\\ \text{segundos}).
E o comprimento médio da fila de espera nas lavadoras é
L_{q,w} = \lambda W_{q,w} \approx 0{,}1 \times 0{,}1607 = 0{,}01607\\ \text{clientes (muito pequeno).}
Comentário didático: usamos M/M/c como aproximação; o serviço nas lavadoras é praticamente determinístico (M/D/c), então a fila real tende a ser ainda menor do que essa estimativa — a aproximação M/M/c dá número conservador.

Passo 5

Parâmetros da secadora (serviço) e variabilidade.
  • Tempo de carregamento: 2 min (assumo que esse tempo ocupa a secadora — o cliente está ocupando a secadora enquanto carrega).
  • Tempo de secagem + descarregamento: média 10 min e desvio padrão 4 min (dado).
  • Assim o tempo médio de serviço por secadora é
E[S_d] = 2 + 10 = 12\\ \text{min}.
  • Variância do serviço: como o carregamento é determinístico (2 min) e a parte aleatória tem variância 4^2 =16, a variância total do serviço é 16. Portanto o coeficiente de variação do serviço é
c_s = \frac{\sigma_{S_d}}{E[S_d]} = \frac{4}{12} = 0{,}3333,\quad c_s^2 = 0{,}1111.
Explicação: o serviço na secadora não é exponencial; tem variabilidade menor que exponential (onde c_s^2=1). Essa informação é usada para ajustar a estimativa de espera — uma fila com menor variabilidade tem menor espera que a correspondente M/M/c.

Passo 6

Estimativa inicial para filas da secadora (usando M/M/c) e correção pela variabilidade (M/G/c aproximado).
  • Primeiro calculemos o offered load para as secadoras:
a_d = \lambda E[S_d] = 0{,}1\times 12 = 1{,}2\\ \text{Erlangs}.
Com c_d=2 secadoras, utilização por secadora é
\rho_d = \frac{a_d}{c_d} = \frac{1{,}2}{2} = 0{,}6 \quad (60\%).
  • Usando Erlang C (M/M/2) com a=1{,}2 e c=2, primeiro os termos:
\sum_{k=0}^{1}\frac{a^k}{k!} = 1 + 1{,}2 = 2{,}2.
\frac{a^2}{2!} = \frac{1{,}44}{2} = 0{,}72.
E o termo extra \dfrac{a^c}{c!}\cdot \dfrac{c}{c-a} = 0{,}72\cdot \dfrac{2}{2-1{,}2} = 0{,}72\cdot \dfrac{2}{0{,}8} = 1{,}8.
Então a probabilidade de espera (M/M/2) seria
P_{\text{espera, secadora (M/M/2)}} = \frac{1{,}8}{2{,}2+1{,}8} = \frac{1{,}8}{4{,}0} = 0{,}45.
Ou seja, pela fórmula M/M/2, cerca de 45\% dos clientes encontrariam as duas secadoras ocupadas e teriam que esperar.
  • Tempo médio de espera na fila segundo M/M/2:
W_{q,d}^{(\text{M/M/2})} = \frac{P_{\text{espera}}}{c\mu_d - \lambda},
onde \mu_d = 1/12 \approx 0{,}083333. Então c\mu_d - \lambda = 2\times 0{,}083333 - 0{,}1 = 0{,}0666667. Assim
W_{q,d}^{(\text{M/M/2})} \approx \frac{0{,}45}{0{,}0666667} = 6{,}75\\ \text{min}.
  • Ajuste pela variabilidade do serviço (aproximação prática): para passar de M/M/c para um caso M/G/c com coeficiente de variação do serviço c_s^2, uma aproximação simples e bastante usada é multiplicar W_q de M/M/c por
\frac{1 + c_s^2}{2}.
Isto porque se c_s^2<1 (serviço menos variável que exponencial) a espera diminui na mesma proporção aproximada. Aqui c_s^2 = 0{,}1111, então o fator é
\frac{1 + c_s^2}{2} = \frac{1 + 0{,}1111}{2} = 0{,}5556.
  • Aplicando a correção:
W_{q,d}^{(\text{aprox M/G/2})} \approx 0{,}5556 \times 6{,}75 \approx 3{,}75\\ \text{min}.
Portanto a estimativa prática para o tempo médio de espera na fila da secadora é cerca de 3{,}75 minutos (em vez dos 6{,}75 que a suposição exponencial daria).
  • Comprimento médio da fila na secadora:
L_{q,d} \approx \lambda W_{q,d} \approx 0{,}1 \times 3{,}75 = 0{,}375\\ \text{clientes}.
Observação didática: essa correção por (1+c_s^2)/2 é uma aproximação comum (existem refinamentos mais precisos, mas essa é boa para provas) — explica intuitivamente que menor variabilidade reduz espera.

Passo 7

Cestos: estimativa do tempo médio de ocupação do cesto e probabilidade de falta (bloqueio).
Precisamos modelar por quanto tempo cada cliente retém um cesto. Pela suposição feita no Passo 1, o cesto é tomado após o descarregamento da lavadora, o cliente carrega o cesto até a secadora (transporte) e só devolve o cesto quando termina de carregar a secadora (isto é, após o carregamento de 2 min). Se durante a espera pela secadora o cliente mantém o cesto, então o tempo que o cesto fica ocupado por cliente é
S_b = \text{transporte} + \text{espera na fila da secadora} + \text{carregamento}.
Médias:
  • E[\text{transporte}] = \dfrac{3+5}{2} = 4 min.
  • E[\text{carregamento}] = 2 min.
  • E[\text{espera na fila da secadora}] \approx W_{q,d}^{(\text{aprox})} \approx 3{,}75 min (obtido no passo anterior).
Logo o tempo médio que um cesto fica ocupado é
E[S_b] \approx 4 + 3{,}75 + 2 = 9{,}75\\ \text{min}.
A taxa de chegada aos cestos é a mesma \lambda=0{,}1 (cada cliente precisa de um cesto quando sai da lavadora). Assim o offered load para cestos é
a_b = \lambda E[S_b] \approx 0{,}1 \times 9{,}75 = 0{,}975\\ \text{Erlangs}.
Temos c_b=12 cestos. O sistema de cestos se comporta, sob suposição de chegadas Poisson, como um sistema de perda M/G/c/c (Erlang B) — para esse sistema a probabilidade de bloqueio depende apenas de a e c (insensibilidade ao tipo de distribuição de serviço). Então usamos a fórmula de Erlang B:
B(c,a) = \frac{\dfrac{a^c}{c!}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{c}\frac{a^k}{k!}}.
Com a\approx 0{,}975 e c=12, os termos \dfrac{a^k}{k!} decaem muito rápido e a soma no denominador é aproximadamente 2{,}651 (cálculo numérico passo a passo feito). O termo \dfrac{a^{12}}{12!} é da ordem de 10^{-9}. Assim a probabilidade de bloqueio é astronomicamente pequena:
P_{\text{sem cesto}} = B(12,0{,}975) \approx 6\times 10^{-10}\\ (\text{próximo de zero}).ó
Interpretação: com 12 cestos, a taxa de chegada e os tempos envolvidos, é extremamente improvável que faltem cestos — portanto não é um gargalo relevante.

Passo 8

Tempo médio total que o cliente passa na lavanderia (estimativa).
Montando a sequência temporal (com as médias que já calculamos):
  • Espera na fila da lavadora: W_{q,w} \approx 0{,}1607 min.
  • Serviço na lavadora (lavagem + descarregamento): E[S_w] = 27{,}5 min.
  • Transporte até a secadora: E[\text{transporte}] = 4 min.
  • Espera na fila da secadora: W_{q,d} \approx 3{,}75 min.
  • Serviço na secadora (carregamento + secagem + descarregamento): E[S_d] = 12 min.
Somando (sem duplicar etapas) o tempo médio total no sistema:
E[T_{\text{total}}] \approx W_{q,w} + E[S_w] + E[\text{transporte}] + W_{q,d} + E[S_d].
Substituindo valores:
E[T_{\text{total}}] \approx 0{,}1607 + 27{,}5 + 4 + 3{,}75 + 12 \approx 47{,}4107\\ \text{min}.
Arredondando, o cliente fica em média cerca de 47{,}4 minutos na lavanderia desde a chegada até a saída (essa é uma estimativa com as suposições explicitadas; a maior incerteza vem da aproximação usada para a fila da secadora).

Passo 9

Interpretações finais e recomendações rápidas (motivação para a prova):
  • As lavadoras estão relativamente pouco utilizadas ( \approx 39{,}3\%), logo não são gargalo.
  • As secadoras têm utilização mais elevada ( 60\%) e geram fila não desprezível: aproximadamente 45\% de chance de encontrar as duas ocupadas se o serviço fosse exponencial; ajustando pela menor variabilidade real do serviço, o tempo médio de espera fica \approx 3{,}75 min, com probabilidade efetiva de espera menor que 45\% (o 45\% é um indicador bruto da frequência de filas).
  • Cestos: com 12 cestos e os tempos dados, a chance de faltar cesto é praticamente zero — não se preocupa com bloqueio por cestos.
  • Tempo total médio na lavanderia estimado: cerca de 47{,}4 min.

Resposta

Taxa de chegada: \lambda = 0{,}1\\ \text{clientes/min}.
Utilização das lavadoras (por máquina): \rho_w \approx 0{,}3929 (≈ 39{,}29\%).
Probabilidade de esperar por lavadora: P_{\text{espera, lavar}} \approx 0{,}0248 (≈ 2{,}48\%).
Tempo médio de espera na fila da lavadora: W_{q,w} \approx 0{,}1607\\ \text{min} (≈ 9{,}64 s).
Utilização das secadoras (por secadora): \rho_d = 0{,}6 (60%).
Probabilidade de encontrar ambas secadoras ocupadas (M/M/2 crude): \approx 0{,}45 (45%).
Tempo médio de espera na fila da secadora (aprox. M/G/2 ajustado): W_{q,d} \approx 3{,}75\\ \text{min}.
Probabilidade de falta de cestos (bloqueio) com 12 cestos: P_{\text{sem cesto}} \approx 6\times 10^{-10} (praticamente zero).
Tempo médio total na lavanderia (estimado): E[T_{\text{total}}] \approx 47{,}41\\ \text{min}.

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