Lavanderia. Os consumidores chegam numa lavanderia com intervalo médio entre chegadas de 10 minutos (distribuidos exponencialmente) para lavar e secar suas roupas. Depois de chegarem, utilizam as máquinas de lavar (que são 7 ao todo). O tempo de lavagem é constante: demora 25 minutos. No final da lavagem, o consumidor retira as roupas da máquina, coloca-as num cesto (há 12 cestos ao todo) e leva o cesto para a secadora. O tempo de descarregamento das roupas da máquina de lavar está uniformemente distribuido entre 1 e 4 minutos. O tempo para transportar as roupas da máquina de lavagem até a secadora está uniformemente distribuido entre 3 e 5 minutos. O cliente, então, carrega a secadora, o que demora somente 2 minutos; espera a secagem; descarrega as roupas; e sai da lavanderia. O tempo de secagem + descarregamento é normalmente distribuído com média de 10 minutos e desvio-padrão de 4 minutos. Há 2 secadoras na lavanderia e 7 máquinas de lavar.
Passo 1
Enunciado resumido e o que vamos responder (tudo o que há de importante, extraído do enunciado):
- Chegadas: intervalo médio entre chegadas
minutos, distribuído exponencialmente. - Máquinas de lavar:
máquinas. Tempo de lavagem constante minutos. - Descarregamento da máquina de lavar: tempo uniforme entre
e minutos. - Há
cestos no sistema. - Transporte da máquina de lavar até a secadora: tempo uniforme entre
e minutos. - Carregar a secadora:
minutos. - Tempo de secagem + descarregamento: distribuição normal com média
minutos e desvio-padrão minutos. - Secadoras:
máquinas.
Perguntas que vamos responder (decidi analisar estes indicadores que costumam ser pedidos em prova):
- Taxa de chegada
em clientes/minuto. - Taxa de serviço e utilização das máquinas de lavar (por máquina) e das secadoras (por secadora).
- Probabilidade de ter que esperar por uma máquina de lavar e tempo médio de espera na fila de lavagem.
- Probabilidade de ter que esperar por uma secadora e tempo médio de espera na fila de secagem (aproximação razoável para distribuição dada).
- Probabilidade de falta de cestos (bloqueio) e conclusão se isso é relevante.
- Tempo médio total que o cliente passa na lavanderia (do início até sair), estimado com as suposições feitas.
Observações de modelagem que vou adotar (explicitando suposições para não inventar nada não pedido):
- Vou assumir que o tempo de descarregamento da lavagem (uniforme
– ) é feito antes do cliente liberar a máquina — ou seja, a máquina fica ocupada por (lavagem) + tempo de descarregamento. Logo serviço médio na lavadora inclui esse descarregamento. - Vou assumir que o cliente pega um cesto logo após descarregar a máquina, transporta até a secadora (tempo médio
min) e espera na fila da secadora; ao chegar na secadora ele carrega (2 min) — esse carregamento ocupa a secadora e também é o momento em que o cesto é liberado (ou seja: o cesto é mantido desde que sai da lavadora até terminar o carregamento da secadora). Depois, a secadora executa a secagem + descarregamento (média min, já dada). Assim o tempo que a secadora ocupa inclui os min de carregamento + os min de secagem/descarregamento. - Vou tratar as chegadas como Poisson (dado que os intervalos são exponenciais) e aplicar fórmulas clássicas de filas multi‑servidor (Erlang C) e de perda em cestos (Erlang B) quando apropriado. Para a secadora, por ter serviço não exponencial (normal), vou usar uma aproximação prática (veremos o porquê e como) que corrige a estimativa M/M/c pela variabilidade do serviço.
Agora que está tudo claro e as suposições estabelecidas, começo a resolver.
Passo 2
Calcular a taxa de chegada
.
- Dado que o intervalo médio entre chegadas é
minutos, a taxa de chegada em clientes por minuto é
Explicação curta: se, em média, chega um cliente a cada 10 min, então a taxa média de chegadas por minuto é
. Pronto, usamos isso em todos os cálculos seguintes.
Passo 3
Tempo médio de serviço nas máquinas de lavar e parâmetros associados.
- Tempo de lavagem é constante
min. - Tempo de descarregamento (uniforme entre
e min) tem média
- Assim o tempo médio total em que uma lavadora fica ocupada por um cliente é
- Taxa de serviço por lavadora (média) é
- Cálculo do “offered load” total (Erlangs) para a etapa das lavadoras:
- Utilização média de cada lavadora (fração do tempo ocupada):
Breve explicação:
é a carga oferecida ao conjunto de lavadoras em Erlangs; dividir por
dá a utilização por servidor. Se
, o sistema de servidores pode atender, senão fica saturado.
Passo 4
Probabilidade de esperar por uma lavadora (Erlang C) e tempo médio de espera na fila de lavagem.
Vou usar a fórmula de Erlang C (aproximação M/M/c) para estimar a probabilidade de que um cliente encontre todas as lavadoras ocupadas. A fórmula de Erlang C (probabilidade de espera) é
onde
(Erlangs) e
é o número de servidores.
Aqui
e
. Vamos calcular os termos numéricos (faço passo a passo):
- Calculei os termos
para :
Somando esses termos obtemos aproximadamente
.
-
Termo
calcula-se (aprox.) como . Em seguida multiplicamos por , obtendo o numerador da fração como aproximadamente . -
Assim a probabilidade de espera na fila de lavagem é
Então
Tempo médio de espera na fila para lavadoras (usando fórmula de
para M/M/c):
Aqui
e
.
Logo
E o comprimento médio da fila de espera nas lavadoras é
Comentário didático: usamos M/M/c como aproximação; o serviço nas lavadoras é praticamente determinístico (M/D/c), então a fila real tende a ser ainda menor do que essa estimativa — a aproximação M/M/c dá número conservador.
Passo 5
Parâmetros da secadora (serviço) e variabilidade.
- Tempo de carregamento:
min (assumo que esse tempo ocupa a secadora — o cliente está ocupando a secadora enquanto carrega). - Tempo de secagem + descarregamento: média
min e desvio padrão min (dado). - Assim o tempo médio de serviço por secadora é
- Variância do serviço: como o carregamento é determinístico (2 min) e a parte aleatória tem variância
, a variância total do serviço é . Portanto o coeficiente de variação do serviço é
Explicação: o serviço na secadora não é exponencial; tem variabilidade menor que exponential (onde
). Essa informação é usada para ajustar a estimativa de espera — uma fila com menor variabilidade tem menor espera que a correspondente M/M/c.
Passo 6
Estimativa inicial para filas da secadora (usando M/M/c) e correção pela variabilidade (M/G/c aproximado).
- Primeiro calculemos o offered load para as secadoras:
Com
secadoras, utilização por secadora é
- Usando Erlang C (M/M/2) com
e , primeiro os termos:
E o termo extra
Então a probabilidade de espera (M/M/2) seria
Ou seja, pela fórmula M/M/2, cerca de
dos clientes encontrariam as duas secadoras ocupadas e teriam que esperar.
- Tempo médio de espera na fila segundo M/M/2:
onde
. Então
. Assim
- Ajuste pela variabilidade do serviço (aproximação prática): para passar de M/M/c para um caso M/G/c com coeficiente de variação do serviço
, uma aproximação simples e bastante usada é multiplicar de M/M/c por
Isto porque se
(serviço menos variável que exponencial) a espera diminui na mesma proporção aproximada. Aqui
, então o fator é
- Aplicando a correção:
Portanto a estimativa prática para o tempo médio de espera na fila da secadora é cerca de
minutos (em vez dos
que a suposição exponencial daria).
- Comprimento médio da fila na secadora:
Observação didática: essa correção por
é uma aproximação comum (existem refinamentos mais precisos, mas essa é boa para provas) — explica intuitivamente que menor variabilidade reduz espera.
Passo 7
Cestos: estimativa do tempo médio de ocupação do cesto e probabilidade de falta (bloqueio).
Precisamos modelar por quanto tempo cada cliente retém um cesto. Pela suposição feita no Passo 1, o cesto é tomado após o descarregamento da lavadora, o cliente carrega o cesto até a secadora (transporte) e só devolve o cesto quando termina de carregar a secadora (isto é, após o carregamento de 2 min). Se durante a espera pela secadora o cliente mantém o cesto, então o tempo que o cesto fica ocupado por cliente é
Médias:
-
min. -
min. -
min (obtido no passo anterior).
Logo o tempo médio que um cesto fica ocupado é
A taxa de chegada aos cestos é a mesma
(cada cliente precisa de um cesto quando sai da lavadora). Assim o offered load para cestos é
Temos
cestos. O sistema de cestos se comporta, sob suposição de chegadas Poisson, como um sistema de perda M/G/c/c (Erlang B) — para esse sistema a probabilidade de bloqueio depende apenas de
e
(insensibilidade ao tipo de distribuição de serviço). Então usamos a fórmula de Erlang B:
Com
e
, os termos
decaem muito rápido e a soma no denominador é aproximadamente
(cálculo numérico passo a passo feito). O termo
é da ordem de
. Assim a probabilidade de bloqueio é astronomicamente pequena:
Interpretação: com
cestos, a taxa de chegada e os tempos envolvidos, é extremamente improvável que faltem cestos — portanto não é um gargalo relevante.
Passo 8
Tempo médio total que o cliente passa na lavanderia (estimativa).
Montando a sequência temporal (com as médias que já calculamos):
- Espera na fila da lavadora:
min. - Serviço na lavadora (lavagem + descarregamento):
min. - Transporte até a secadora:
min. - Espera na fila da secadora:
min. - Serviço na secadora (carregamento + secagem + descarregamento):
min.
Somando (sem duplicar etapas) o tempo médio total no sistema:
Substituindo valores:
Arredondando, o cliente fica em média cerca de
minutos na lavanderia desde a chegada até a saída (essa é uma estimativa com as suposições explicitadas; a maior incerteza vem da aproximação usada para a fila da secadora).
Passo 9
Interpretações finais e recomendações rápidas (motivação para a prova):
- As lavadoras estão relativamente pouco utilizadas (
), logo não são gargalo. - As secadoras têm utilização mais elevada (
) e geram fila não desprezível: aproximadamente de chance de encontrar as duas ocupadas se o serviço fosse exponencial; ajustando pela menor variabilidade real do serviço, o tempo médio de espera fica min, com probabilidade efetiva de espera menor que (o é um indicador bruto da frequência de filas). - Cestos: com
cestos e os tempos dados, a chance de faltar cesto é praticamente zero — não se preocupa com bloqueio por cestos. - Tempo total médio na lavanderia estimado: cerca de
min.
Resposta
Taxa de chegada:
Utilização das lavadoras (por máquina):
(≈
).
Probabilidade de esperar por lavadora: (≈
).
Tempo médio de espera na fila da lavadora: (≈
s).
Probabilidade de esperar por lavadora:
Tempo médio de espera na fila da lavadora:
Utilização das secadoras (por secadora):
(60%).
Probabilidade de encontrar ambas secadoras ocupadas (M/M/2 crude): (45%).
Tempo médio de espera na fila da secadora (aprox. M/G/2 ajustado):
Probabilidade de encontrar ambas secadoras ocupadas (M/M/2 crude):
Tempo médio de espera na fila da secadora (aprox. M/G/2 ajustado):
Probabilidade de falta de cestos (bloqueio) com
cestos:
(praticamente zero).
Tempo médio total na lavanderia (estimado):