0 cobre tem uma estrutura cristalina CFC e raio atômico 0,1278 \mathrm{~nm}.
Considerando que os átomos são esferas rígidas que se tocam ao longo das diagonais das faces das célula unitária CFC, calcule o valor teórico da densidade do cobre em megagramas por metro cúbico. A massa do cobre é 63,54 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado pede a densidade teórica do cobre, que cristaliza em rede cúbica de face centrada (CFC) com raio atômico r=0{,}1278\\ \mathrm{nm}. Para resolver, vamos usar a relação entre o parâmetro de rede a e r, contar quantos átomos há por célula unitária CFC, calcular a massa dessa célula a partir da massa molar M=63{,}54\\ \mathrm{g/mol} e dividir pela volume da célula a^3.

Passo 2

Na rede CFC os átomos tocam-se ao longo da diagonal da face da célula. A diagonal de uma face mede \sqrt{2}\,a e equivale a quatro raios atômicos. Logo,
\sqrt{2}\,a = 4\,r
e
a = \frac{4\,r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\;r.

Passo 3

Cada célula unitária CFC contém 4 átomos (8 vértices com 1/8 de átomo em cada +6 faces com 1/2 de átomo em cada).

Passo 4

A massa de um átomo de cobre é \tfrac{M}{N_A}, onde N_A é a constante de Avogadro. Assim, a massa da célula é
m_{\text{cel}} = 4\,\frac{M}{N_A}.

Passo 5

O volume da célula é
V_{\text{cel}} = a^3 = \bigl(2\sqrt{2}\,r\bigr)^3.

Passo 6

A densidade teórica vale
\rho = \frac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}} = \frac{4\,\tfrac{M}{N_A}}{\bigl(2\sqrt{2}\,r\bigr)^3}.
Substituindo r=0{,}1278\\ \mathrm{nm}, M=63{,}54\\ \mathrm{g/mol}, N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} e convertendo unidades, obtém-se
\rho \approx 8{,}93\\ \times 10^{6}\\ \mathrm{g/m^3} =8{,}93\\ \mathrm{Mg/m^3}.

Resposta

A densidade teórica do cobre é aproximadamente 8{,}93\\ \mathrm{Mg/m^3}.

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