O código de barras de 48 dígitos padrão que aparece nos boletos bancários é composto por 4 blocos de 12 dígitos, onde o 12o dígito de cada bloco é o dígito verificador do bloco; isto é, ele não faz parte do código de barras original, e é calculado segundo os padrões da Febraban através dos 11 números restantes do bloco. Além disso, o quarto dígito do primeiro bloco é o dígito verificador geral, também calculado a partir dos demais números. A partir das restrições apresentadas, a quantidade máxima de códigos de barras diferentes que podem ser gerados é de
a-11’4/
b-12’4/
c-10’43/
d-10’44/
e-10’48.

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício sobre o código de barras de 48 dígitos dos boletos bancários. A gente vai usar conceitos de contagem combinatória para descobrir quantos códigos diferentes podem ser gerados, levando em conta as restrições dos dígitos verificadores.

Passo 2

O código de barras tem 48 dígitos divididos em 4 blocos de 12 dígitos cada. Ou seja, cada bloco é assim: D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12.

Passo 3

Em cada bloco, o 12º dígito é um dígito verificador. Isso significa que ele não é livre para escolher, ele é calculado a partir dos 11 primeiros dígitos do bloco. Assim, para cada bloco, só os primeiros 11 dígitos são realmente livres para variar.

Passo 4

Além disso, no primeiro bloco, o 4º dígito também é um dígito verificador geral, calculado a partir dos demais números do código. Então, no primeiro bloco, além do 12º dígito, o 4º dígito também não pode ser escolhido livremente.

Passo 5

Vamos contar quantas opções temos para cada bloco:
  • Primeiro bloco: Dos 12 dígitos, o 4º e o 12º são verificadores. Então, temos 10 opções (de 0 a 9) para os outros 10 dígitos. Ou seja, 10¹⁰ possibilidades.
  • Os outros três blocos: Em cada um, apenas o 12º dígito é verificador. Portanto, temos 11 dígitos livres com 10 opções cada, totalizando 10¹¹ possibilidades por bloco.
Multiplicando tudo, a quantidade máxima de códigos diferentes é:
10¹⁰ (primeiro bloco) × (10¹¹)³ (outros três blocos) = 10¹⁰ × 10³³ = 10⁴³.

Resposta

c) 10^43.

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