Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca–kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?
a) 10%
b) 5%
c) 4%
d) 3%
e) 2%

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma substância radioativa que está diminuindo de massa ao longo do tempo de acordo com a fórmula $ m(t) = c \cdot a^{-kt} $, onde:
  • $ m(t) $ é a massa da substância no tempo $ t $ (em anos),
  • $ c $ e $ k $ são constantes positivas,
  • $ a $ é um número real positivo.
Sabemos que $ m_0 $ gramas dessa substância foram reduzidos para 20% em 10 anos. Nosso objetivo é descobrir para qual porcentagem de $ m_0 $ a massa da substância será reduzida após 20 anos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de decaimento exponencial e resolver passo a passo para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a informação dada: após 10 anos, a massa da substância é 20% da massa inicial $ m_0 $. Isso significa que:
m0
Substituindo na fórmula de decaimento:
m(10) = 0,2 cdot m0
Como $ t = 0 $ anos é o momento inicial, temos $ m(0) = c \cdot a^{0} = c $. Portanto, $ c = m_0 $. Substituindo isso na equação anterior:
0,2 cdot m0 = c cdot a^-k cdot 10
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m_0 $:
t = 0

Passo 3

Queremos encontrar a massa após 20 anos, ou seja, $ m(20) $. Vamos usar a mesma fórmula:
m(20)
Vamos relacionar isso com a equação que já temos:
m(20) = m0 cdot a^-20k
Para facilitar, vamos resolver para $ a^{-10k} $:
0,2 = a^-10k
Queremos expressar $ a^{-20k} $ em termos de $ a^{-10k} $. Observamos que:
a^-10k
Substituindo $ a^{-10k} $ por 0,2:
a^-10k = 0,2

Passo 4

Agora, substituímos de volta na fórmula para $ m(20) $:
m(20)
Isso significa que, após 20 anos, a massa da substância é 4% da massa inicial $ m_0 $.

Resposta

A massa da substância será reduzida para 4% de $ m_0 $ após 20 anos. Portanto, a resposta correta é a opção c) 4%.

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