1. O coeficiente de atrito estático entre a caixa de massa m e o piso é \boldsymbol{\mu} \mathbf{s}, enquanto o coeficiente de atrito estático entre os sapatos do homem de 85 kg e o piso é \boldsymbol{\mu} \mathbf{' s}=\mathbf{0 , 4 5}. Determine se o homem pode mover a caixa. (1,0pt)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • Coeficiente de atrito estático entre a caixa (massa \,m\,) e o piso: \mu_s (variável, não numérico).
  • Coeficiente de atrito estático entre os sapatos do homem e o piso: \mu'_s = 0,45.
  • Massa do homem: m_h = 85\\ \text{kg}.
  • Pergunta: determinar se o homem pode mover a caixa (isto é, se ele consegue vencer o atrito estático que prende a caixa ao piso).
  • Observação que vou assumir (padrão nesse tipo de problema): o homem aplica uma força horizontal sobre a caixa e não há forças verticais extras além do peso e da normal; assim as normais são N_{\text{caixa}} = m g e N_{\text{homem}} = m_h g.

Passo 2

Conceito importante sobre atrito estático (explicação didática, passo a passo):
  • Atrito estático é a força que evita o movimento relativo entre dois corpos em contato até um limite máximo. Esse limite máximo é dado por
f_{s,\max} = \mu_s\,N,
onde \,N\, é a força normal entre os corpos e \mu_s é o coeficiente de atrito estático apropriado ao par de superfícies.
  • No nosso problema temos duas fricções relevantes:
    1. A resistência que impede a caixa de deslizar no piso: magnitude máxima \,f_{\text{caixa,max}} = \mu_s\,N_{\text{caixa}}.
    2. A tração máxima que o homem pode exercer no chão (para “empurrar” ou “puxar” a caixa sem escorregar): magnitude máxima \,F_{\text{homem,max}} = \mu'_s\,N_{\text{homem}}.
  • Para que o homem consiga iniciar o movimento da caixa, a força horizontal máxima que ele consegue aplicar sobre a caixa (limitada pelo atrito entre seus pés e o piso) tem que ser maior do que a força de atrito estático máxima que prende a caixa:
F_{\text{homem,max}} > f_{\text{caixa,max}}.

Passo 3

Calcular as normais (explicando por que são assim):
  • A normal da caixa sobre o piso é igual ao seu peso (não há forças verticais extras): N_{\text{caixa}} = m g,
onde \,g\, é a aceleração da gravidade.
  • A normal do homem sobre o piso é igual ao peso do homem: N_{\text{homem}} = m_h g = 85\,g.
  • Portanto, escrevendo as magnitudes máximas de atrito mencionadas:
f_{\text{caixa,max}} = \mu_s\,m g, \qquad F_{\text{homem,max}} = \mu'_s\,m_h g = 0,45\cdot85\;g.

Passo 4

Montar a condição para o homem mover a caixa e simplificar (contando passo a passo as manipulações algébricas):
  • Condição para mover a caixa:
F_{\text{homem,max}} > f_{\text{caixa,max}}.
  • Substituindo:
0,45\cdot85\;g > \mu_s\; m\; g.
  • Como g>0, podemos dividir ambos os lados por g (ele se cancela):
0,45\cdot85 > \mu_s\; m.
  • Isolando \mu_s:
\mu_s < \dfrac{0,45\cdot85}{m}.
  • Calculando o produto no numerador:
0,45\cdot85 = 38,25,
logo a condição final é
\mu_s < \dfrac{38,25}{m}.

Passo 5

Interpretação prática e exemplos para você entender na hora da prova (sem pânico, é só comparar):
  • Resultado prático: o homem consegue mover a caixa se, e somente se, \mu_s < \dfrac{38,25}{m}.
  • Observações:
    • Se \mu_s for exatamente igual a \dfrac{38,25}{m}, o sistema está no limite (força máxima igual ao atrito máximo); para iniciar movimento normalmente é preciso >, então quando for igual está na iminência de deslizar, porém não há sobra de força.
    • Se \mu_s for maior que \dfrac{38,25}{m}, o homem não consegue mover a caixa (ele escorregaria antes de aplicar força suficiente).
  • Exemplos numéricos para intuir:
    • Se m = 50\\ \text{kg}, então o limite é \mu_s < \dfrac{38,25}{50} = 0,765. Como \,0,765 é bem maior que muitos coeficientes típicos, nesse caso o homem conseguiria mover a caixa para muitos pisos.
    • Se m = 200\\ \text{kg}, então o limite é \mu_s < \dfrac{38,25}{200} = 0,19125. Se o coeficiente real entre caixa e piso for, por exemplo, \mu_s = 0,3, então ele não conseguiria mover a caixa (pois \,0,3 > 0,19125).
Força um passo de cada vez — na prova: escreva as forças, escreva os limites de atrito, compare, cancele g e isole \mu_s. Você consegue!

Resposta

\mu_s < \dfrac{38,25}{m}

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