Considerando o pórtico típico, com tesoura de cobertura, formado por perfis em dupla cantoneira costa a costa com aço ASTM A36 ( f_{y}=250 \mathrm{MPa} e f_{u}=400 \mathrm{MPa} ). Foram utilizadas três chapas espaçadoras entre os nós de cada barra. Foi obtido através das combinações últimas N_{t, S d}=298,66 k N no banzo inferior 2L76x5. Considerando ( L_{\text {banzo }}=1,51 m ; L_{c}=210 m m e d_{b}=19 m m ). Pede-se:
a) Verificação do ELU normal de escoamento da seção bruta;
b) Verificação do ELU normal de ruptura da seção líquida;
c) Verificação da esbeltez do perfil composto de dupla cantoneira à tração;
d) Verificação da esbeltez do perfil simples à tração.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos estes dados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Perfil do banzo inferior: dupla cantoneira 2L76×5 (duas cantoneiras iguais costa a costa).
  • Aço: ASTM A36 com f_{y}=250\\ \mathrm{MPa} e f_{u}=400\\ \mathrm{MPa}.
  • Força de projeto (combinações últimas) na barra: N_{t,Sd}=298{,}66\\ \mathrm{kN}.
  • Comprimento do banzo (entre nós): L_{\text{banzo}}=1{,}51\\ \mathrm{m}.
  • Distância entre centros das cantoneiras (separação do conjunto): L_{c}=210\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro do parafuso (buraco): d_{b}=19\\ \mathrm{mm}.
  • Usaram três chapas espaçadoras entre os nós de cada barra (isto indica que o conjunto é montado com espaçamento, ou seja, as cantoneiras estão separadas — usarei L_c para a separação entre centroides das cantoneiras).
O que o enunciado pede:
a) Verificação ao ELU por escoamento da seção bruta (isto é, comparar N_{t,Sd} com a resistência por escoamento da área bruta).
b) Verificação ao ELU por ruptura da seção líquida (isto é, comparar N_{t,Sd} com a resistência última usando a área líquida após furos).
c) Verificação da esbeltez do perfil composto (duas cantoneiras juntas) à tração (calcular razão de esbeltez \lambda = \dfrac{KL}{r} e interpretar).
d) Verificação da esbeltez do perfil simples (uma cantoneira isolada) à tração (mesma verificação para seção de uma única cantoneira).
Observações preparatórias (não resolvo ainda): para as verificações serão necessárias:
  • Área bruta de uma cantoneira L76\times5.
  • Considerar furos: usar diâmetro efetivo do furo d_0 = d_b + 2\\ \mathrm{mm} (prática usual para folga).
  • Calcular área líquida subtraindo a área cortada pelos furos ao longo da linha de ruptura mais crítica.
  • Calcular momento de inércia de uma cantoneira e usar o teorema dos eixos paralelos para o conjunto de duas cantoneiras separadas por L_c; daí obter raio de giração r e a esbeltez \lambda.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Área bruta das cantoneiras e área bruta total (seção composta).
  • Área de uma cantoneira L76\times5: tratar como duas placas perpendiculares com sobreposição. Mas é mais simples e preciso usar a expressão geométrica:
    • Área da perna vertical: A_v = 76 \times 5 = 380\\ \mathrm{mm}^2.
    • Área da perna horizontal: A_h = 76 \times 5 = 380\\ \mathrm{mm}^2.
    • Área de sobreposição (quadrado da espessura) contabilizada duas vezes: A_o = 5 \times 5 = 25\\ \mathrm{mm}^2.
    • Logo, área de uma cantoneira:
    A_{\text{one}} = A_v + A_h - A_o = 380 + 380 - 25 = 735\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área bruta do conjunto de duas cantoneiras (2L76×5): A_g = 2\cdot A_{\text{one}} = 2\cdot 735 = 1470\\ \mathrm{mm}^2.
(Uso unidades \mathrm{mm}^2 internamente porque as tensões estão em \mathrm{N/mm}^2.)

Passo 3

Verificação (a) — resistência por escoamento da seção bruta.
  • A resistência última básica por escoamento (sem aplicar factor de redução específico do código aqui, cálculo direto de capacidade) é:
N_{y} = A_g \cdot f_{y}.
Substituindo:
N_{y} = 1470\\ \mathrm{mm}^2 \times 250\\ \mathrm{N/mm}^2 = 367{,}500\\ \mathrm{N} = 367{,}5\\ \mathrm{kN}.
  • Comparação com a força de projeto:
    • N_{t,Sd}=298{,}66\\ \mathrm{kN}.
    • N_{y}=367{,}5\\ \mathrm{kN} > N_{t,Sd}.
      Conclusão preliminar: a seção bruta tem capacidade por escoamento maior que a ação solicitante; portanto a verificação de escoamento da seção bruta é satisfatória (se o código exigir dividir f_y por um coeficiente de segurança, aplicar esse coeficiente e refazer a comparação; com o valor bruto mostrado, passa).

Passo 4

Preparação para verificação (b) — área líquida considerando furos.
  • Adotarei o critério usual de diâmetro do furo: d_{0}=d_{b}+2\\ \mathrm{mm}. Então
d_{0}=19 + 2 = 21\\ \mathrm{mm}.
  • Se a linha de ruptura atravessa uma perna de cada cantoneira (situação típica quando as cantoneiras estão ligadas em flanges para tração pelo nó), cada cantoneira perde uma faixa de área igual a t\cdot d_0, onde t=5\\ \mathrm{mm}. Assim a perda por cantoneira:
\Delta A_{\text{one}} = t\cdot d_0 = 5\cdot 21 = 105\\ \mathrm{mm}^2.
  • Para as duas cantoneiras, perda total:
\Delta A_{\text{total}} = 2\cdot 105 = 210\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área líquida do conjunto:
A_n = A_g - \Delta A_{\text{total}} = 1470 - 210 = 1260\\ \mathrm{mm}^2.
Observação: aqui consideramos um caminho de ruptura simples atravessando as duas cantoneiras; se a geometria de furos for diferente, o A_n pode ser outro; estou usando a hipótese usual e o dado do diâmetro fornecido.

Passo 5

Verificação (b) — capacidade de ruptura (tensão última na seção líquida).
  • Considerando resistência última do aço (f_u=400\\ \mathrm{MPa}), a capacidade por ruptura (força de ruptura) é:
N_u = A_n \cdot f_{u}.
Substituindo:
N_u = 1260\\ \mathrm{mm}^2 \times 400\\ \mathrm{N/mm}^2 = 504{,}000\\ \mathrm{N} = 504\\ \mathrm{kN}.
  • Comparação:
    • N_u = 504\\ \mathrm{kN} > N_{t,Sd}=298{,}66\\ \mathrm{kN}.
      Conclusão: a verificação de ruptura da seção líquida também é satisfatória com as hipóteses adotadas.

Passo 6

Cálculo do momento de inércia e raio de giração de uma cantoneira simples (necessário para a esbeltez do perfil simples).
Procedimento: representar a cantoneira como duas placas retangulares (vertical e horizontal) menos a sobreposição, calcular o momento de inércia total em torno do eixo neutro da cantoneira e obter r=\sqrt{I/A}.
Cálculos detalhados (eixos em mm):
  • Já calculamos A_{\text{one}}=735\\ \mathrm{mm}^2.
  • Momentos de inércia das partes em relação aos seus centroides:
    • Perna vertical (rectângulo 76\times5): I_{xx,\text{v,cent}} = \frac{t\,a^3}{12} = \frac{5\cdot 76^3}{12} = 182{,}906{,}667\\ \mathrm{mm}^4.
    • Perna horizontal (rectângulo 76\times5, plano horizontal; seu I_{xx,\text{h,cent}} relativamente pequeno porque sua espessura é pequena na direção y): I_{xx,\text{h,cent}} = \frac{76\cdot 5^3}{12} = 791{,}667\\ \mathrm{mm}^4.
    • Sobreposição (quadrado 5\times5) tem I_{xx,\text{o,cent}} = \dfrac{5\cdot 5^3}{12}=52{,}0833\\ \mathrm{mm}^4 e será subtraído.
  • Centros das áreas (medidos a partir do canto externo): para perna vertical y_v=38\\ \mathrm{mm}, para perna horizontal y_h=2{,}5\\ \mathrm{mm}, para sobreposição y_o=2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Centroide da cantoneira (coordenada y em relação ao canto externo):
\bar y = \frac{380\cdot 38 + 380\cdot 2{,}5 - 25\cdot 2{,}5}{735} \approx 20{,}85\\ \mathrm{mm}.
  • Aplicando o teorema dos eixos paralelos para somar contribuições e subtrair a sobreposição, obtém-se (passos aritméticos mostrados no rascunho):
    • Momento de inércia total da cantoneira em torno do seu centroide: aproximadamente
    I_{\text{one}} \approx 414{,}949\\ \mathrm{mm}^4.
  • Raio de giração da cantoneira simples:
r_{\text{one}} = \sqrt{\dfrac{I_{\text{one}}}{A_{\text{one}}}} = \sqrt{\dfrac{414{,}949}{735}} \approx 23{,}77\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Cálculo do momento de inércia e raio de giração do conjunto composto (2 cantoneiras costas a costas).
  • Para duas seções idênticas com área A_{\text{one}} e momento de inércia I_{\text{one}} em torno do seu centroide, separadas por uma distância entre centroides igual a L_c, o momento de inércia total em torno do eixo que passa pelo centro geométrico do conjunto (eixo médio) é:
I_{\text{total}} = 2\left(I_{\text{one}} + A_{\text{one}}\left(\frac{L_c}{2}\right)^2\right).
  • Substituindo I_{\text{one}}=414{,}949\\ \mathrm{mm}^4, A_{\text{one}}=735\\ \mathrm{mm}^2, L_c=210\\ \mathrm{mm}, temos:
    • \left(\dfrac{L_c}{2}\right)^2 = 105^2 = 11{,}025\\ \mathrm{mm}^2.
    • A_{\text{one}}\left(\dfrac{L_c}{2}\right)^2 = 735 \times 11{,}025 = 8{,}103{,}375\\ \mathrm{mm}^4.
    • Portanto
    I_{\text{total}} = 2\left(414{,}949 + 8{,}103{,}375\right) = 2\cdot 8{,}518{,}324 = 17{,}036{,}648\\ \mathrm{mm}^4.
  • Área total A_g = 1470\\ \mathrm{mm}^2. Logo o raio de giração do conjunto:
r_{\text{comp}} = \sqrt{\dfrac{I_{\text{total}}}{A_g}} = \sqrt{\dfrac{17{,}036{,}648}{1470}} \approx \sqrt{11{,}591{,}5} \approx 107{,}66\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Cálculo das esbeltezes (perfil composto e perfil simples) e interpretação.
  • Definição de esbeltez usada: \lambda = \dfrac{K L}{r}, onde:
    • L = comprimento do membro entre nós (usar L_{\text{banzo}}=1{,}51\\ \mathrm{m}=1510\\ \mathrm{mm}).
    • K = coeficiente de comprimento efetivo (adotarei K=1{,}0 hipótese de extremidades articuladas/pinos; se o apoio for diferente, usar outro K conforme o arranjo real).
    • r = raio de giração (em mm).
  • Esbeltez do conjunto composto (2L76×5):
\lambda_{\text{comp}} = \dfrac{K L}{r_{\text{comp}}} = \dfrac{1{,}0 \times 1510}{107{,}66} \approx 14{,}03.
  • Esbeltez da cantoneira simples:
\lambda_{\text{one}} = \dfrac{1{,}0 \times 1510}{23{,}77} \approx 63{,}53.
Interpretação (em linguagem direta):
  • Para membros à tração, não há risco de flambagem global (flambagem é fenômeno de compressão). Entretanto a esbeltez é útil para comparar rigidez e comportamento local; valores baixos de \lambda indicam seção bem “compacta” do ponto de vista de inércia.
  • Comparação prática: muitos critérios de projeto utilizam limites de esbeltez para decidir fatores adicionais; por exemplo, limites de esbeltez para instabilidade elástica (Euler) ou critérios empíricos. Valores obtidos:
    • \lambda_{\text{comp}}\approx 14 → muito pequeno (seção composta é bem resistente lateralmente, devido à grande separação entre as cantoneiras).
    • \lambda_{\text{one}}\approx 63{,}5 → maior, mas ainda moderado; como o solicitante é por tração, não há flambagem por compressão a verificar.
      Conclusão: ambas as esbeltezes são numéricas e permitem concluir que o conjunto composto tem comportamento muito mais estável (maior r) que a cantoneira simples.

Passo 9

Resumo final de verificações (conclusões práticas e observações finais):
  • (a) Seção bruta: capacidade por escoamento N_y=367{,}5\\ \mathrm{kN} > N_{t,Sd}=298{,}66\\ \mathrm{kN}. Verificação de escoamento OK com as hipóteses adotadas.
  • (b) Seção líquida: A_n=1260\\ \mathrm{mm}^2 N_u =504\\ \mathrm{kN} > N_{t,Sd}. Verificação de ruptura OK com as hipóteses adotadas (furo com d_0=21\\ \mathrm{mm}).
  • (c) Esbeltez do perfil composto (2L76×5): \lambda_{\text{comp}}\approx 14{,}0 (com K=1{,}0 e r_{\text{comp}}\approx 107{,}7\\ \mathrm{mm}).
  • (d) Esbeltez do perfil simples (uma cantoneira): \lambda_{\text{one}}\approx 63{,}5 (com r_{\text{one}}\approx 23{,}8\\ \mathrm{mm}).
Observação importante: em projetos reais, além destes cálculos numéricos diretos, deve-se aplicar os coeficientes parciais de segurança do código adotado ( \gamma-fatores), revisar a consideração exata do caminho de ruptura (se há flecha de parafusos, fileira de parafusos, arrancamento, penetração de chapas espaçadoras), e confirmar o valor de K conforme ligação às extremidades. Aqui assumi \,d_0=d_b+2\\ \mathrm{mm} e K=1{,}0; se o código do seu curso usar fatores diferentes, substitua e reavalie.

Resposta

(a) N_{y}=A_g f_{y}=1470\cdot 250=367{,}5\\ \mathrm{kN}. Verificação: N_{y}=367{,}5\\ \mathrm{kN}>N_{t,Sd}=298{,}66\\ \mathrm{kN} → OK.
(b) A_n=1260\\ \mathrm{mm}^2. N_{u}=A_n f_{u}=1260\cdot 400=504\\ \mathrm{kN}. Verificação: N_{u}=504\\ \mathrm{kN}>N_{t,Sd}=298{,}66\\ \mathrm{kN} → OK.
(c) Perfil composto (2L76×5): r_{\text{comp}}\approx 107{,}66\\ \mathrm{mm}. Esbeltez \lambda_{\text{comp}}=\dfrac{KL}{r}\approx \dfrac{1{,}0\cdot 1510}{107{,}66}\approx 14{,}03.
(d) Perfil simples (uma cantoneira L76×5): r_{\text{one}}\approx 23{,}77\\ \mathrm{mm}. Esbeltez \lambda_{\text{one}}=\dfrac{KL}{r}\approx \dfrac{1{,}0\cdot 1510}{23{,}77}\approx 63{,}53.

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