Considerando o pórtico típico, com tesoura de cobertura, formado por perfis em dupla cantoneira costa a costa com aço ASTM A36 (
). Foram utilizadas três chapas espaçadoras entre os nós de cada barra. Foi obtido através das combinações últimas
no banzo inferior 2L76x5. Considerando (
e
). Pede-se:
a) Verificação do ELU normal de escoamento da seção bruta;
b) Verificação do ELU normal de ruptura da seção líquida;
c) Verificação da esbeltez do perfil composto de dupla cantoneira à tração;
d) Verificação da esbeltez do perfil simples à tração.
a) Verificação do ELU normal de escoamento da seção bruta;
b) Verificação do ELU normal de ruptura da seção líquida;
c) Verificação da esbeltez do perfil composto de dupla cantoneira à tração;
d) Verificação da esbeltez do perfil simples à tração.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos estes dados do enunciado).
Dados fornecidos:
- Perfil do banzo inferior: dupla cantoneira 2L76×5 (duas cantoneiras iguais costa a costa).
- Aço: ASTM A36 com
e . - Força de projeto (combinações últimas) na barra:
. - Comprimento do banzo (entre nós):
. - Distância entre centros das cantoneiras (separação do conjunto):
. - Diâmetro do parafuso (buraco):
. - Usaram três chapas espaçadoras entre os nós de cada barra (isto indica que o conjunto é montado com espaçamento, ou seja, as cantoneiras estão separadas — usarei
para a separação entre centroides das cantoneiras).
O que o enunciado pede:
a) Verificação ao ELU por escoamento da seção bruta (isto é, comparar com a resistência por escoamento da área bruta).
b) Verificação ao ELU por ruptura da seção líquida (isto é, comparar com a resistência última usando a área líquida após furos).
c) Verificação da esbeltez do perfil composto (duas cantoneiras juntas) à tração (calcular razão de esbeltez e interpretar).
d) Verificação da esbeltez do perfil simples (uma cantoneira isolada) à tração (mesma verificação para seção de uma única cantoneira).
a) Verificação ao ELU por escoamento da seção bruta (isto é, comparar
b) Verificação ao ELU por ruptura da seção líquida (isto é, comparar
c) Verificação da esbeltez do perfil composto (duas cantoneiras juntas) à tração (calcular razão de esbeltez
d) Verificação da esbeltez do perfil simples (uma cantoneira isolada) à tração (mesma verificação para seção de uma única cantoneira).
Observações preparatórias (não resolvo ainda): para as verificações serão necessárias:
- Área bruta de uma cantoneira
. - Considerar furos: usar diâmetro efetivo do furo
(prática usual para folga). - Calcular área líquida subtraindo a área cortada pelos furos ao longo da linha de ruptura mais crítica.
- Calcular momento de inércia de uma cantoneira e usar o teorema dos eixos paralelos para o conjunto de duas cantoneiras separadas por
; daí obter raio de giração e a esbeltez .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Área bruta das cantoneiras e área bruta total (seção composta).
- Área de uma cantoneira
: tratar como duas placas perpendiculares com sobreposição. Mas é mais simples e preciso usar a expressão geométrica: - Área da perna vertical:
. - Área da perna horizontal:
. - Área de sobreposição (quadrado da espessura) contabilizada duas vezes:
. - Logo, área de uma cantoneira:
- Área da perna vertical:
- Área bruta do conjunto de duas cantoneiras (2L76×5):
(Uso unidades
internamente porque as tensões estão em
.)
Passo 3
Verificação (a) — resistência por escoamento da seção bruta.
- A resistência última básica por escoamento (sem aplicar factor de redução específico do código aqui, cálculo direto de capacidade) é:
Substituindo:
- Comparação com a força de projeto:
-
. -
.
Conclusão preliminar: a seção bruta tem capacidade por escoamento maior que a ação solicitante; portanto a verificação de escoamento da seção bruta é satisfatória (se o código exigir dividirpor um coeficiente de segurança, aplicar esse coeficiente e refazer a comparação; com o valor bruto mostrado, passa).
-
Passo 4
Preparação para verificação (b) — área líquida considerando furos.
- Adotarei o critério usual de diâmetro do furo:
. Então
- Se a linha de ruptura atravessa uma perna de cada cantoneira (situação típica quando as cantoneiras estão ligadas em flanges para tração pelo nó), cada cantoneira perde uma faixa de área igual a
, onde . Assim a perda por cantoneira:
- Para as duas cantoneiras, perda total:
- Área líquida do conjunto:
Observação: aqui consideramos um caminho de ruptura simples atravessando as duas cantoneiras; se a geometria de furos for diferente, o
pode ser outro; estou usando a hipótese usual e o dado do diâmetro fornecido.
Passo 5
Verificação (b) — capacidade de ruptura (tensão última na seção líquida).
- Considerando resistência última do aço
, a capacidade por ruptura (força de ruptura) é:
Substituindo:
- Comparação:
-
.
Conclusão: a verificação de ruptura da seção líquida também é satisfatória com as hipóteses adotadas.
-
Passo 6
Cálculo do momento de inércia e raio de giração de uma cantoneira simples (necessário para a esbeltez do perfil simples).
Procedimento: representar a cantoneira como duas placas retangulares (vertical e horizontal) menos a sobreposição, calcular o momento de inércia total em torno do eixo neutro da cantoneira e obter .
Procedimento: representar a cantoneira como duas placas retangulares (vertical e horizontal) menos a sobreposição, calcular o momento de inércia total em torno do eixo neutro da cantoneira e obter
Cálculos detalhados (eixos em mm):
- Já calculamos
. - Momentos de inércia das partes em relação aos seus centroides:
- Perna vertical (rectângulo
): - Perna horizontal (rectângulo
, plano horizontal; seu relativamente pequeno porque sua espessura é pequena na direção ): - Sobreposição (quadrado
) tem e será subtraído.
- Perna vertical (rectângulo
- Centros das áreas (medidos a partir do canto externo): para perna vertical
, para perna horizontal , para sobreposição . - Centroide da cantoneira (coordenada
em relação ao canto externo):
- Aplicando o teorema dos eixos paralelos para somar contribuições e subtrair a sobreposição, obtém-se (passos aritméticos mostrados no rascunho):
- Momento de inércia total da cantoneira em torno do seu centroide: aproximadamente
- Raio de giração da cantoneira simples:
Passo 7
Cálculo do momento de inércia e raio de giração do conjunto composto (2 cantoneiras costas a costas).
- Para duas seções idênticas com área
e momento de inércia em torno do seu centroide, separadas por uma distância entre centroides igual a , o momento de inércia total em torno do eixo que passa pelo centro geométrico do conjunto (eixo médio) é:
- Substituindo
, , , temos: -
. -
- Portanto
-
- Área total
. Logo o raio de giração do conjunto:
Passo 8
Cálculo das esbeltezes (perfil composto e perfil simples) e interpretação.
- Definição de esbeltez usada:
, onde: -
= comprimento do membro entre nós (usar ). -
= coeficiente de comprimento efetivo (adotarei hipótese de extremidades articuladas/pinos; se o apoio for diferente, usar outro conforme o arranjo real). -
= raio de giração (em mm).
-
- Esbeltez do conjunto composto (2L76×5):
- Esbeltez da cantoneira simples:
Interpretação (em linguagem direta):
- Para membros à tração, não há risco de flambagem global (flambagem é fenômeno de compressão). Entretanto a esbeltez é útil para comparar rigidez e comportamento local; valores baixos de
indicam seção bem “compacta” do ponto de vista de inércia. - Comparação prática: muitos critérios de projeto utilizam limites de esbeltez para decidir fatores adicionais; por exemplo, limites de esbeltez para instabilidade elástica (Euler) ou critérios empíricos. Valores obtidos:
-
→ muito pequeno (seção composta é bem resistente lateralmente, devido à grande separação entre as cantoneiras). -
→ maior, mas ainda moderado; como o solicitante é por tração, não há flambagem por compressão a verificar.
Conclusão: ambas as esbeltezes são numéricas e permitem concluir que o conjunto composto tem comportamento muito mais estável (maior) que a cantoneira simples.
-
Passo 9
Resumo final de verificações (conclusões práticas e observações finais):
- (a) Seção bruta: capacidade por escoamento
. Verificação de escoamento OK com as hipóteses adotadas. - (b) Seção líquida:
→ . Verificação de ruptura OK com as hipóteses adotadas (furo com ). - (c) Esbeltez do perfil composto (2L76×5):
(com e ). - (d) Esbeltez do perfil simples (uma cantoneira):
(com ).
Observação importante: em projetos reais, além destes cálculos numéricos diretos, deve-se aplicar os coeficientes parciais de segurança do código adotado (
-fatores), revisar a consideração exata do caminho de ruptura (se há flecha de parafusos, fileira de parafusos, arrancamento, penetração de chapas espaçadoras), e confirmar o valor de
conforme ligação às extremidades. Aqui assumi
e
; se o código do seu curso usar fatores diferentes, substitua e reavalie.
Resposta
(a)
. Verificação:
→ OK.
(b)
.
. Verificação:
→ OK.
(c) Perfil composto (2L76×5):
. Esbeltez
.
(d) Perfil simples (uma cantoneira L76×5):
. Esbeltez
.